Controlli automatici/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto

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2 I sistemi dinamici a tempo discreto sono descritti dalle seguenti equazioni di stato (equazione alle differenze) e di uscita:

\begin{cases} x_i \left( k+1 \right) = f_i \left( k , x (k) , u (k) \right) \\
y_l (k) = g_l \left( k  , x(k) , u(k) \right) \end{cases}

Sistemi dinamici a classi di età[modifica]

5 I modelli a classi di età permettono di sapere il numero degli elementi di una certa classe i-esima nell'istante temporale k. L'evoluzione di ogni classe dall'istante k all'istante k+1 è descritta tenendo conto del tasso di mortalità \gamma e del tasso di sopravvivenza 1- \gamma degli elementi della classe.

6 Lo stato x_i (k) è il numero di elementi della classe i-esima, l'ingresso u(k) rappresenta l'ingresso di nuovi elementi in una classe.

11-18 Equazioni di stato e di uscita
\begin{cases} x \left( k+1 \right) = A x(k) + B u(k) \\ y (k) = C x(k) + D u(k) \end{cases}

Sistemi dinamici a dati campionati[modifica]

Discretizzazione[modifica]

22-23 Il processo di discretizzazione avviene attraverso un campionatore con passo di campionamento T_s:

\begin{cases} x (t) = A x (t) + B u(t) \\ y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \left( k+1 \right) = A_d x (k) + B_d u(k) \\ y(k) = C_d x (k) + D_d u(k) \end{cases}

24-25 dove le matrici A_d e B_d sono ricavabili dalla formula di Lagrange:[1]

x (t) = e^{A \left( t-t_0 \right)} x \left( t_0 \right) + \int_{t_0}^t e^{A \left( t-t_0- \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow x \left( k+1 \right) = \underbrace{e^{AT_s}}_{A_d} x \left( k \right) +  \underbrace{\left( \int_0^{T_s} e^{A \left( T_s - \tau \right)} d \tau \right) }_{B_d} B u(k)

Note[modifica]

  1. Si ipotizza che il filtro di tenuta a partire da un ingresso discreto u(k) produca un ingresso u(t) costante a tratti:
    Filtro di tenuta costante a tratti sample e hold.png
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