Controlli automatici/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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9 L'analisi modale studia l'andamento asintotico (<math>t \to + \infty</math>) dei modi naturali.

Modi naturali[modifica | modifica sorgente]

4-5-6 Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:

<math>\dot x (t) = A x (t) \Rightarrow x (t) = x_\ell (t) = e^{At} x \left( 0^- \right) = \underbrace{\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t } & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n-1} t} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}}_{e^{At}} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1 \left( 0^- \right) \\ x_2 \left( 0^- \right) \\ \vdots \\ x_{n-1} \left( 0^- \right) \\ x_n \left( 0^- \right) \end{bmatrix}}_{x \left( 0^- \right)} = \begin{bmatrix} x_1 \left( 0^- \right) e^{\lambda_1 t} \\ x_2 \left( 0^- \right) e^{\lambda_2 t} \\ \vdots \\ x_{n-1} \left( 0^- \right) e^{\lambda_{n-1} t} \\ x_n \left( 0^- \right) e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}</math>

dove la matrice esponenziale <math>e^{At}</math> è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano <math>n</math> autovalori <math>\lambda_1 , \ldots , \lambda_n</math> reali e distinti.

7 Ogni funzione del tipo:

<math>m_t (t) = e^{\lambda_i (t)}</math>

è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore <math>\lambda_i</math>.

Analisi modale[modifica | modifica sorgente]

14 <math>x_\ell (t) = e^{At} x \left( 0^- \right) = \underbrace{T e^{\tilde A t} T^{-1}}_{e^{At}} x \left( 0^- \right)</math>

11 dove a una matrice <math>A</math> qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:

<math>e^{At} = T e^{\tilde A t} T^{-1}</math>
  • <math>T</math> è una matrice costante;
  • 12 <math>\tilde A</math> è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:
    <math>\tilde A = \begin{bmatrix} {\tilde A}_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & {\tilde A}_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\tilde A}_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {\tilde A}_{n} \end{bmatrix}</math>

Autovalori semplici[modifica | modifica sorgente]

Autovalori reali semplici[modifica | modifica sorgente]

16 I blocchi di <math>e^{\tilde A t}</math> corrispondenti a <math>n</math> autovalori reali distinti <math>\lambda_i</math> hanno forma diagonale:

<math>\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t } & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n-1} t} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}</math>

17 e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo <math>e^{\lambda_i t}</math>, che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se <math>\Re{\left( \lambda_i \right)} < 0</math> (es. <math>e^{-t}</math>);
  • limitati (costanti) se <math>\Re{\left( \lambda_i \right)} = 0</math> (es. <math>e^{0t} = 1</math>);
  • esponenzialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda_i \right)} > 0</math> (es. <math>e^t</math>).

Autovalori complessi semplici[modifica | modifica sorgente]

18 I blocchi di <math>e^{\tilde A t}</math> corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo <math>\lambda = \sigma \pm j \omega</math> hanno la forma:

<math>e^{\sigma t} \begin{bmatrix} \cos{\left( \omega t \right)} & \sin{\left( \omega t \right)} \\ - \sin{\left( \omega t \right)} & \cos{\left( \omega t \right)} \end{bmatrix}</math>

19 e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo <math>e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)}</math> e <math>e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)}</math>, che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma < 0</math> (es. <math>e^{-t} \sin{\left( 5t \right)}</math>);
  • limitati (oscillanti) se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma = 0 \wedge \Im{\left( \lambda \right)} = \omega \neq 0</math> (es. <math>\sin{\left( 5t \right)}</math>);
  • esponenzialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma > 0</math> (es. <math>e^t \sin{\left( 5t \right)}</math>).

Autovalori multipli[modifica | modifica sorgente]

Autovalori reali multipli[modifica | modifica sorgente]

20 I blocchi di <math>e^{\tilde A t}</math> corrispondenti a un autovalore reale <math>\lambda</math> con molteplicità algebrica <math>\mu > 1</math> sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

<math>\begin{bmatrix} e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{\mu' -1}}{\left( \mu' -1 \right) !} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{\mu' -2}}{\left( \mu' -2 \right) !} e^{\lambda t} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda t} \end{bmatrix}</math>

e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica <math>\mu' \leq \mu</math> del tipo <math>t^j e^{\lambda t}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 0</math>).

21 Se <math>\mu' > 1</math>, i modi naturali del tipo <math>t^j e^{\lambda t}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 1</math>) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} < 0</math> (es. <math>t e^{-t}</math>);
  • polinomialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = 0</math> (es. <math>t e^{0t} = t</math>);
  • esponenzialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} > 0</math> (es. <math>t e^t</math>).

Autovalori complessi multipli[modifica | modifica sorgente]

Convergenza modi naturali LTI TC.png

22 I blocchi di <math>e^{\tilde A t}</math> corrispondenti a una coppia di autovalori complessi <math>\lambda = \sigma \pm j \omega</math> con molteplicità algebrica <math>\mu > 1</math> danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica <math>\mu' \leq \mu</math> del tipo <math>t^j e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)}</math> e <math>t^j e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 0</math>).

23 Se <math>\mu' > 1</math>, i modi naturali del tipo <math>t^j e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)}</math> e <math>t^j e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 1</math>) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma < 0</math> (es. <math>t e^{-t} \sin{\left( 5t \right)}</math>);
  • polinomialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma = 0</math> (es. <math>t \sin{\left( 5t \right)}</math>);
  • esponenzialmente divergenti se <math>\Re{\left( \lambda \right)} = \sigma > 0</math> (es. <math>t e^{t} \sin{\left( 5t \right)}</math>).

Costante di tempo[modifica | modifica sorgente]

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29 Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo:

<math>\tau = \left| \frac{1}{\Re{\left( \lambda \right)}} \right|</math>
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