Controlli automatici/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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9 L'analisi modale studia l'andamento asintotico (t \to + \infty) dei modi naturali.

Modi naturali[modifica]

4-5-6 Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:

\dot x (t) = A x (t) \Rightarrow x (t) = x_\ell (t) = e^{At} x \left( 0^- \right) = \underbrace{\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t } & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n-1} t} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}}_{e^{At}} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1 \left( 0^- \right) \\ x_2 \left( 0^- \right) \\ \vdots \\ x_{n-1} \left( 0^- \right) \\ x_n \left( 0^- \right) \end{bmatrix}}_{x \left( 0^- \right)} = \begin{bmatrix} x_1 \left( 0^- \right) e^{\lambda_1 t} \\ x_2 \left( 0^- \right) e^{\lambda_2 t} \\ \vdots \\ x_{n-1} \left( 0^- \right) e^{\lambda_{n-1} t} \\ x_n \left( 0^- \right) e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}

dove la matrice esponenziale e^{At} è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano n autovalori \lambda_1 , \ldots , \lambda_n reali e distinti.

7 Ogni funzione del tipo:

m_t (t) = e^{\lambda_i (t)}

è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore \lambda_i.

Analisi modale[modifica]

14 x_\ell (t) = e^{At} x \left( 0^- \right) = \underbrace{T e^{\tilde A t} T^{-1}}_{e^{At}} x \left( 0^- \right)

11 dove a una matrice A qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:

e^{At} = T e^{\tilde A t} T^{-1}
  • T è una matrice costante;
  • 12 \tilde A è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:
    \tilde A = \begin{bmatrix} {\tilde A}_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & {\tilde A}_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\tilde A}_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {\tilde A}_{n} \end{bmatrix}

Autovalori semplici[modifica]

Autovalori reali semplici[modifica]

16 I blocchi di e^{\tilde A t} corrispondenti a n autovalori reali distinti \lambda_i hanno forma diagonale:

\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t } & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n-1} t} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}

17 e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo e^{\lambda_i t}, che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se \Re{\left( \lambda_i \right)} < 0 (es. e^{-t});
  • limitati (costanti) se \Re{\left( \lambda_i \right)} = 0 (es. e^{0t} = 1);
  • esponenzialmente divergenti se \Re{\left( \lambda_i \right)} > 0 (es. e^t).

Autovalori complessi semplici[modifica]

18 I blocchi di e^{\tilde  A t} corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo \lambda = \sigma \pm j \omega hanno la forma:

e^{\sigma t} \begin{bmatrix} \cos{\left( \omega t \right)} & \sin{\left( \omega t \right)} \\ - \sin{\left( \omega t \right)} & \cos{\left( \omega t \right)} \end{bmatrix}

19 e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)} e e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)}, che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se \Re{\left( \lambda \right)} = \sigma < 0 (es. e^{-t} \sin{\left( 5t \right)});
  • limitati (oscillanti) se \Re{\left( \lambda \right)} = \sigma = 0 \wedge \Im{\left( \lambda \right)} = \omega \neq 0 (es. \sin{\left( 5t \right)});
  • esponenzialmente divergenti se \Re{\left( \lambda \right)} = \sigma > 0 (es. e^t \sin{\left( 5t \right)}).

Autovalori multipli[modifica]

Autovalori reali multipli[modifica]

20 I blocchi di e^{\tilde  A t} corrispondenti a un autovalore reale \lambda con molteplicità algebrica \mu > 1 sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

\begin{bmatrix} e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{\mu' -1}}{\left( \mu' -1 \right) !} e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{\mu' -2}}{\left( \mu' -2 \right) !} e^{\lambda t} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda t} \end{bmatrix}

e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica \mu' \leq \mu del tipo t^j e^{\lambda t} (j = \mu' -1 , \ldots , 0).

21 Se \mu' > 1, i modi naturali del tipo t^j e^{\lambda t} (j = \mu' -1 , \ldots , 1) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se \Re{\left( \lambda \right)} < 0 (es. t e^{-t});
  • polinomialmente divergenti se \Re{\left( \lambda \right)} = 0 (es. t e^{0t} = t);
  • esponenzialmente divergenti se \Re{\left( \lambda \right)} > 0 (es. t e^t).

Autovalori complessi multipli[modifica]

Convergenza modi naturali LTI TC.png

22 I blocchi di e^{\tilde  A t} corrispondenti a una coppia di autovalori complessi \lambda = \sigma \pm j \omega con molteplicità algebrica \mu > 1 danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica \mu' \leq \mu del tipo t^j e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)} e t^j e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)} (j = \mu' -1 , \ldots , 0).

23 Se \mu' > 1, i modi naturali del tipo t^j e^{\sigma t} \cos{\left( \omega t \right)} e t^j e^{\sigma t} \sin{\left( \omega t \right)} (j = \mu' -1 , \ldots , 1) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se \Re{\left( \lambda \right)} = \sigma < 0 (es. t e^{-t} \sin{\left( 5t \right)});
  • polinomialmente divergenti se \Re{\left( \lambda \right)}  = \sigma = 0 (es. t \sin{\left( 5t \right)});
  • esponenzialmente divergenti se \Re{\left( \lambda \right)}  = \sigma > 0 (es. t e^{t} \sin{\left( 5t \right)}).

Costante di tempo[modifica]

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29 Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo:

\tau = \left| \frac{1}{\Re{\left( \lambda \right)}} \right|
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