Controlli automatici/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

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4 Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo discreto è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

<math>\begin{cases} x \left( k +1 \right) = A x \left( k \right) + B u \left( k \right) \\

y \left( k \right) = C x \left( k \right) + D u \left( k \right) \end{cases}</math>

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

7-8 <math>\begin{cases} x (k) = \underbrace{A^k x \left( 0 \right)}_{x_\ell (k)} + \underbrace{\sum_{i=0}^{k-1} A^{k-i-1} B u \left( i \right) }_{x_f \left( k \right)} \\

y (k) = \underbrace{C A^k x \left( 0 \right)}_{y_\ell (k)} + \underbrace{C \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-i-1} B u \left( i \right) + D u \left( k \right)}_{y_f \left( k \right)} \end{cases}</math>

6 Dimostrazione

Analisi nel dominio della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

12-13-14-15 La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio della trasformata Zeta e calcolando esplicitamente <math>X \left( z \right)</math> e <math>Y \left( z \right)</math>:

<math>\begin{cases} z X \left( z \right) - z x \left( 0 \right) = A X \left( z \right) + B U \left( z \right) \Rightarrow X \left( z \right) = \underbrace{ \overbrace{ z {\left( zI - A \right)}^{-1}}^{H_0^x \left( z \right)} x \left( 0 \right)}_{ X_\ell \left( z \right) } + \underbrace{ \overbrace{ {\left( zI - A \right)}^{-1} B}^{H_f^x \left( z \right)} U \left( z \right)}_{X_f \left( z \right) } = H_0^x \left( z \right) x \left( 0 \right) + H_f^x \left( z \right) U \left( z \right) \\

Y \left( z \right) = C X \left( z \right) + D U \left( z \right) = \underbrace{ \overbrace{ z C {\left( zI - A \right)}^{-1}}^{H_0 \left( z \right)} x \left( 0 \right)}_{Y_\ell \left( z \right)} + \underbrace{ \overbrace{ \left[ C {\left( zI - A \right)}^{-1} B + D \right]}^{H \left( z \right)} U \left( z \right)}_{Y_f \left( z \right) } = H_0 \left( z \right) x \left( 0 \right) + H \left( z \right) U \left( z \right) \end{cases}</math> dove:

  • la matrice <math>H \left( z \right)</math> è detta matrice di trasferimento;
  • la matrice <math>z I_n - A</math> deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più <math>n</math> valori distinti di <math>z</math> che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado <math>n</math>:
    <math>\det \left( z I_n - A \right) = z^n + \alpha_{n-1} z^{n-1} + \cdots + \alpha_1 z + \alpha_0</math>
  • le matrici <math>H_0^x \left( z \right)</math>, <math>H_f^x \left( z \right)</math>, <math>H_0 \left( z \right)</math> e <math>H \left( z \right)</math> sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa <math>z</math> (a causa della matrice inversa).
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