Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformazioni e spettro di potenza

Da WikiAppunti.
Jump to navigation Jump to search
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  A11. StazionarietàGtk-home.svg  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)A13. Medie temporali ed ergodicità  Gtk-go-forward-ltr.svg

Trasformazioni lineari di processi casuali[modifica | modifica sorgente]

2 Un sistema deterministico che elabora un processo casuale <math>X \left( t \right)</math> fornisce alla sua uscita un processo casuale <math>Y \left( t \right)</math>.

5 Se il sistema è lineare, la media:

<math>m_Y \left( t \right) \triangleq E \left( Y \left( t \right) \right)</math>

e la funzione di autocorrelazione:

<math>R_Y \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( Y \left( t_1 \right) Y^* \left( t_2 \right) \right)</math>

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso <math>X \left( t \right)</math>.[1]

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Integrale
<math>Y \left( t \right) = \int_{T_1}^{t} X \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \int_{T_1}^t m_X \left( a \right) da \\

R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \int_{T_1}^{t_1} \int_{T_1}^{t_2} R_X \left( a , b \right) da db \end{cases}</math>

Derivata
<math>Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} X \left( t \right) \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} m_X \left( t \right) \\

R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_2} R_X \left( t_1 , t_2 \right) \end{cases}</math>


8 È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo <math>X \left( t \right)</math> in ingresso è gaussiano, allora il processo <math>Y \left( t \right)</math> in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti[modifica | modifica sorgente]

6 Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento <math>H \left( f \right)</math>, e il processo di ingresso <math>X \left( t \right)</math> è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

  • <math>m_Y = m_X H \left( 0 \right) = m_X \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau \right) d \tau</math>
  • <math>R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right)</math>
  • <math>R_{XY} \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * h \left( \tau \right)</math>

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione <math>R</math> è definita diversamente per i segnali determinati:

<math>R_h \left( \tau \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( t + \tau \right) h^* \left( t \right) dt</math>

Trasformazioni lineari tempo-varianti[modifica | modifica sorgente]

Modulazione di ampiezza[modifica | modifica sorgente]

9 Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso <math>M \left( t \right)</math> (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

<math>Y \left( t \right) = \left[ a_0 + a_1 M \left( t \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t + \theta \right)}</math>

Sotto le ipotesi:

  • il processo <math>M \left( t \right)</math> è stazionario in senso lato;
  • il valor medio <math>E \left[ M \left( t \right) \right]</math> è nullo;

10 si ottiene:

<math>\begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_1 E \left[ M \left( t \right) \right] \cos{ \left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } + a_0 \cos {\left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } \\

R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( t_1 - t_2 \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t_1 + \varphi \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t_2 + \varphi \right)}} \end{cases}</math>

11 Per stazionarizzare il processo in uscita <math>Y \left( t \right)</math>, la fase <math>\varphi</math> diventa una variabile casuale uniforme in <math>\left[ - \pi , \pi \right]</math>:

<math>\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\

R_{Y'} \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{1}{2} \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( \tau \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 \tau \right)} \end{cases}</math>

Modulazione di fase[modifica | modifica sorgente]

12-13 Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

<math>Y \left( t \right) = a_0 e^{j \left[ a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right]} \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_0 E \left[ a_0 e^{j a_2 M \left( t \right)} e^{j \left( a_1 t + \theta \right)} \right] \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = a_0^2 e^{j a_1 \left( t_1 - t_2 \right)} C_{\xi} \left( a_2 \right) , \quad \xi = M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \end{cases}</math>

dove <math>C_{\xi} \left( a \right)</math> è la funzione caratteristica:

<math>C_{\xi} \left( a \right) \triangleq E \left( e^{j a \xi} \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{jax} f_{\xi} \left( x \right) dx</math>

14 Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con <math>\theta</math> variabile casuale uniforme in <math>\left[ - \pi , \pi \right]</math>:

<math>\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\

R_{Y'} \left( \tau \right) = a_0^2 e^{ja_1 \tau} e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]} \end{cases}</math>

Dimostrazione

e^{- \frac{1}{2} {\left[ \frac{t - m_{\xi}}{{\sigma}_{\xi}} \right]}^2} \right\} = e^{- \frac{1}{2} {\left( 2 \pi f {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j 2 \pi f m_{\xi}} \Rightarrow C_{\xi} \left( a_2 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ja_2 x} f_{\xi} \left( x \right) dx = e^{- \frac{1}{2} {\left( a_2 {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j a_2 m_{\xi}} =</math>

Siccome <math>\xi</math> è stazionario in senso lato:

<math>m_{\xi} = E \left( \xi \right) = 0</math>

Inoltre:

<math>{\sigma}_{\xi}^2 = E \left[ \xi^2 \right] = E \left[ {\left( M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \right)}^2 \right] = E \left[ \left( M \left( t_1 \right) \right) \left( M \left( t_1 \right) \right) \right] + E \left[ \left( M \left( t_2 \right) \right) \left( M \left( t_2 \right) \right) \right] - E \left[ M \left( t_1 \right) M \left( t_2 \right) \right] = R_{M} \left( 0 \right) + R_{M} \left( 0 \right) - 2 R_{M} \left( t_1 - t_2 \right)</math>
<math>= e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}</math>

}}

15 Se la sinusoide portante è reale:

<math>Y \left( t \right) = a_0 \cos{\left( a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right)}</math>

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

<math>R_{Y'} \left( \tau \right) = \frac{1}{2} a_0^2 \cos{\left( a_1 \tau \right) e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}}</math>

Densità spettrale di potenza[modifica | modifica sorgente]

17 La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, <math>S_X \left( f \right)</math> di un processo <math>X \left( t \right)</math> stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione <math>R_X \left( \tau \right)</math>:

<math>S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = \int R_X \left( \tau \right) e^{-j2 \pi f \tau} d \tau</math>

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • 19 <math>S_X \left( f \right)</math> è reale e pari;
  • <math>S_X \left( f \right)</math> è sempre positiva;
  • 18 lo spettro di potenza <math>S_Y \left( \tau \right)</math> di un processo <math>Y \left( t \right)</math> stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
    <math>R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right) \Rightarrow S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right)</math>
  • l'integrale di <math>S_X \left( f \right)</math> coincide con la potenza media <math>P \left[ X \left( t \right) \right]</math> del processo:
    <math>P \left[ X \left( t \right) \right] = \int S_X \left( f \right) df = R_X \left( 0 \right) = E \left[ X^2 \left( t \right) \right]</math>
dove <math>E \left[ X^2 \left( t \right) \right]</math> è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisica[modifica | modifica sorgente]

18 Se il sistema LTI è un filtro <math>H \left( f \right)</math> passabanda centrato alla frequenza <math>f_0</math> con banda infinitesimale <math>\Delta</math>:

Power spectrum physical interpretation.png

la densità spettrale <math>S_X \left( f_0 \right)</math>, centrata in <math>f_0</math>, del processo in ingresso <math>X \left( f \right)</math> è proporzionale alla potenza media del processo in uscita <math>Y \left( f \right)</math>:

<math>E \left[ Y^2 \left( t \right) \right] = \int S_Y \left( f \right) df \approx 2 \Delta S_X \left( f_0 \right)</math>

Rumore gaussiano bianco[modifica | modifica sorgente]

WGN power spectrum.png

20-21 Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura <math>T</math>:

  • il processo <math>X \left( t \right)</math> è stazionario e gaussiano;
  • il valor medio è nullo;
  • la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
    <math>S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} , \quad N_0 = k_B T</math>
  • la funzione di autocorrelazione <math>R_X \left( \tau \right)</math>:
    <math>R_X \left( \tau \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \frac{N_0}{2} \delta \left( \tau \right)</math>
    • è nulla per <math>\tau = t_2 - t_1 \neq 0</math> → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
    • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo (<math>\tau = t_2 - t_1 = 0</math>) → il processo ha potenza media infinita.

22 Quando un rumore gaussiano bianco <math>X \left( t \right)</math> entra in un sistema LTI <math>H \left( f \right)</math>, il processo di uscita <math>Y \left( t \right)</math> è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

<math>S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} {\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  A11. StazionarietàGtk-home.svg  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)A13. Medie temporali ed ergodicità  Gtk-go-forward-ltr.svg