Teoria ed elaborazione dei segnali/Diagrammi a blocchi
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Diagrammi a blocchi[modifica | modifica sorgente]
Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.
7 Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:
- senza retroazione (FIR):
- <math>H_{\text{FIR}} \left( f \right) = \sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}</math>
- con retroazione (IIR):
- <math>H_{\text{IIR}} \left( f \right) = \frac{\sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}}{\sideset{}{_k}\sum{{\beta}_k e^{-j2 \pi f {\tau}_k}}}</math>
Definizioni di banda[modifica | modifica sorgente]
La banda di un segnale o di un sistema[1] può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.
15 Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.
Misura del supporto[modifica | modifica sorgente]
8 La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.
9 Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.
Banda a 3 dB[modifica | modifica sorgente]
11 Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.
- Su scala lineare (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>)
La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:
- la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>;
- la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>.
- Su scala logaritmica (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}_{\text{dB}}^2 = 20 \log_{10}{\left| H \left( f \right) \right|}</math>)
La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:
- la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>;
- la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>.
- 16 Classificazione dei filtri
- filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
- filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
- filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
- filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.
Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.
17 Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:
- guadagno unitario nella banda passante;
- guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).
I filtri ideali non sono realizzabili.
Banda equivalente di rumore[modifica | modifica sorgente]
12 La larghezza di banda <math>B_{\text{eq}}</math> è pari alla larghezza del rettangolo:
- la cui altezza è pari al massimo <math>A</math> di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>;
- la cui area è uguale all'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, cioè all'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:
- <math>B_{\text{eq}} = \frac{E \left( H \left( f \right) \right)}{A}</math>
Banda che contiene una data percentuale di energia[modifica | modifica sorgente]
13 La larghezza di banda <math>B_{x \%}</math> è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'<math>x%</math> dell'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:
- <math>B_{x \%} = \left| a - b \right| : \, \int_a^b {\left| H \left( f \right) \right|}^2 df = \frac{x}{100} E \left( H \right)</math>
Estensione di frequenza[modifica | modifica sorgente]
14 La banda è l'estensione di frequenza <math>D</math>:
- <math>D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \fracTemplate:\left{H_e \left( f \right)}</math>
Modulazione e demodulazione[modifica | modifica sorgente]
Modulazione[modifica | modifica sorgente]
7 Si ricorda che la modulazione di un segnale <math>x \left( t \right)</math>, cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide[2], corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:
- <math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>
20 Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale <math>x \left( t \right)</math> in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento <math>H_c \left( f \right)</math> di tipo passa-banda.
21 Il segnale modulato <math>X' \left( f \right)</math>:
- <math>X ' \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>
attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:
- <math>Y \left( f \right) = \frac{A}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>
Demodulazione[modifica | modifica sorgente]
Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:
- il segnale ricevuto <math>Y \left( f \right)</math> viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza <math>f_0</math> di prima:
- <math>Y' \left( f \right) = \frac{A}{2} X \left( f \right) + \frac{A}{4} \left[ X \left( f - 2 f_0 \right) + X \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>
\right\} = \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} * \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} = \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) + 2 \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) \right]</math>
- <math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) = \delta \left( f - 2 f_0 \right)</math>
- <math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f \right)</math>
- <math>\delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f + 2 f_0 \right)</math>
- <math>= \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - 2 f_0 \right) + 2 \delta \left( f \right) + \delta \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>
}}
- ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
- 22 le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.
23 Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:
- la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
- la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
- la frequenza centrale <math>f_0</math> deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.
24 Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.
Multiplazione in frequenza[modifica | modifica sorgente]
25 Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze <math>f_i</math> diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.
Note[modifica | modifica sorgente]
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