Teoria ed elaborazione dei segnali/Sistemi lineari

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A3. Proprietà trasformata	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A5. Diagrammi a blocchi

3 Un sistema è un blocco che trasforma un segnale <math>x \left( t \right)</math> in un altro segnale <math>y \left( t \right)</math>:

<math>y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\}</math>

È una relazione deterministica: a un certo segnale <math>x \left( t \right)</math> corrisponde sempre il segnale <math>y \left( t \right)</math>.

Classificazione

Sistemi lineari

5 Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

<math>\mathcal{T} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{T} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{T} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}</math>

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invarianti

6 Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

<math>\mathcal{T} \left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = y \left( t - \theta \right)</math>

Sistemi causali

12 Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante <math>t_0</math> non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

<math>y \left( t_0 \right) = \mathcal{T} \left\{ \left. x \left( t \right) \right \vert_{- \infty}^{t_0} \right\} \quad \forall t_0</math>

Sistemi senza memoria

7 Un sistema è senza memoria se l'uscita <math>y \left( t \right)</math> dipende solo dal valore assunto dall'ingresso <math>x \left( t \right)</math> nel dato istante di tempo <math>t_0</math>:

<math>y \left( t_0 \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t_0 \right) \right\} \quad \forall t_0</math>

Sistemi reali

15 Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

16 Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabili

17 Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

<math>\forall x \left( t \right) : \, \left| x \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t \Rightarrow \left| y \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t</math>

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

8 I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione <math>h \left( t \right)</math> che è la risposta all'impulso:

<math>y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} = x \left( t \right) * h \left( t \right)</math>

dove:

<math>h \left( t \right) \triangleq \mathcal{T} \left\{ \delta \left( t \right) \right\}</math>

Dimostrazione

9 La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

<math>Y \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} \right\} = H \left( f \right) X \left( f \right)</math>

dove <math>H \left( f \right)</math> è detta funzione di trasferimento:

<math>H \left( f \right) = \frac{Y \left( f \right)}{X \left( f \right)}</math>

10 I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

11 Dimostrazione

= \left| H \left( f_0 \right) \right| \cos{\left[ 2 \pi f_0 t + \arg{X \left( f_0 \right)} \right]}</math>

---

Se <math>x \left( t \right) = \sin{\left( 2 \pi f_0 t \right)}</math>:

<math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) H \left( f \right) = \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) \right] H \left( f \right) = \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) H \left( f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) H \left( - f_0 \right) \right]</math>

<math>y \left( t \right) = \frac{1}{2j} \left[ H \left( f_0 \right) e^{j 2 \pi f_0 t} - H \left( - f_0 \right) e^{- j 2 \pi f_0 t} \right] =</math>

Se <math>h \left( t \right) \in \R</math>:

<math>= \Im{\left\{ H \left( f_0 \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\}} = \left| H \left( f_0 \right) \right| \sin{\left[ 2 \pi f_0 t + \arg{X \left( f_0 \right)} \right]}</math>

}}

Sistemi LTI causali

13 La risposta all'impulso <math>h \left( t \right)</math> di un sistema LTI causale è nulla per <math>t < 0</math>:

<math>h \left( t \right) = u \left( t \right) h \left( t \right)</math>

Dimostrazione

Sistemi LTI reali

15 La risposta all'impulso <math>h \left( t \right)</math> di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento <math>H \left( f \right)</math> deve avere:

• parte reale pari;
• parte immaginaria dispari;
• modulo pari;
• fase dispari.

Sistemi LTI stabili

18 Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso <math>h \left( t \right)</math> è modulo integrabile:

<math>\text{stabile} \, \Leftrightarrow \int \left| h \left( t \right) \right| dt \in \R \Rightarrow \left| H \left( f \right) \right| \in \R</math>

Dimostrazione

Condizione sufficiente

<math>\text{stabile} \, \Leftarrow \int \left

</math>

che è di ampiezza limitata:

<math>\left| x \left( t \right) \right| = 1 \; \forall t</math>

<math>y \left( 0 \right) = \int \left. x \left( t - \tau \right) \right \vert_{t = 0} h \left( \tau \right) d \tau = \int e^{-j \arg{h \left( \tau \right)}} \left| h \left( \tau \right) \right| e^{j \arg{h \left( \tau \right)}} d \tau = \int \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau</math>

}}

Esempi

19 Filtro RC con una porta di ingresso

<math>v_2 \left( t \right) = R i \left( t \right) + v_1 \left( t \right) = R C \frac{d v_1 \left( t \right)}{dt} + v_1 \left( t \right)</math>

<math>V_2 \left( f \right) = \left( 1 + j 2 \pi f RC \right) V_1 \left( f \right) \Rightarrow H \left( f \right) = \frac{1}{1 + j 2 \pi f RC}</math>

20 Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo <math>{\tau}_i</math> e una certa amplificazione/attenuazione <math>{\alpha}_i</math>. Trasmettendo un impulso <math>\delta</math>, viene ricevuto un segnale con eco <math>h \left( t \right)</math>:

<math>h \left( t \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i \delta \left( t - {\tau}_i \right)</math>

dove <math>P</math> è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

21 La sua trasformata <math>H \left( f \right)</math> vale:

<math>H \left( f \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}</math>

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

<math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = \sum_{i =1}^P {\left| {\alpha}_i \right|}^2 + \sum_{i = 1}^P \sum_{\overset{\scriptstyle k=1} {\scriptstyle k>1}}^P 2 {\alpha}_i {\alpha}_k \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{ik}\right)}</math>

Se <math>P = 1</math>, il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

<math>\left| H \left( f \right) \right| = \left| {\alpha}_1 \right|</math>

22 Se <math>P = 2</math> si introduce la selettività in frequenza:

<math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = {\left| {\alpha}_1 \right|}^2 + {\left| {\alpha}_2 \right|}^2 + 2 {\alpha}_1 {\alpha}_2 \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{12}\right)}</math>

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