Teoria ed elaborazione dei segnali/Segnali periodici

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2 I segnali periodici:

<math>x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)</math>

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

<math>x_c \left( t \right) = \int_{n_1}^{n_2} x_T \left( t - n T \right) \neq x_c \left( t + T \right)</math>

Trasformata di Fourier di un segnale periodico

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

<math>x_T \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \, \quad {\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_T \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt} dt</math>

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico <math>x \left( t \right)</math>:

<math>x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad \forall t</math>

3 da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

<math>X \left( f \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} e^{- j 2 \pi f t} dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

dove:

<math>{\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt } dt =</math>

e poiché <math>x_T \left( t \right)</math> è il segnale <math>x \left( t \right)</math> troncato in <math>\left[ 0 , T \right]</math>:

<math>= \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} nt} dt = \frac{1}{T} X_T \left( \frac{n}{T} \right)</math>

4 La trasformata di Fourier del segnale <math>x \left( t \right)</math> è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di <math>\frac{1}{T}</math>, della trasformata di Fourier del segnale troncato <math>x_T \left( t \right)</math>:

<math>X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Treno di impulsi

5 Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

<math>c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)</math>

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché <math>\mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1</math>, è ancora un treno di impulsi:

<math>C_T \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

<math>C_T \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ c_T \left( t \right) \right\} = \sum_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi f nT}</math>

vale anche la seguente uguaglianza:

<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi n f T} = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)</math>

6 Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Campionamento nel tempo e periodicizzazione in frequenza

7-8 Moltiplicando un segnale <math>x \left( t \right)</math> per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:

  <math>x \left( t \right) \cdot c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( nT \right) \delta \left( t - nT \right)</math>

• nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo <math>\frac{1}{T}</math>:

  <math>X \left( f \right) * C_T \left( f \right) = X \left( f \right) * \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) * \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Quindi si ottiene la seguente relazione:

<math>\mathcal{F} \left\{ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) \delta \left( t - nT \right) \right\} = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) * \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Periodicizzazione nel tempo e campionamento in frequenza

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale <math>x \left( t \right)</math> per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:

  <math>x \left( t \right) * c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) * \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t - n T \right)</math>

• nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura <math>\frac{1}{T}</math>:

  <math>X \left( f \right) \cdot C_T \left( t \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Quindi si ottiene una relazione parallela alla precedente:

<math>\mathcal{F} \left\{ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) * \delta \left( t - nT \right) \right\} = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Rappresentazioni di un segnale periodico

9-10 Il segnale <math>x \left( t \right)</math>:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)</math>

è periodico di periodo <math>T</math> anche quando il segnale <math>z \left( t \right)</math> non è a supporto limitato in <math>\left[ 0 , T \right]</math>, e quindi nella periodicizzazione di <math>z \left( t \right)</math> alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = z \left( t \right) * \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)</math>

<math>X \left( f \right) = Z \left( f \right) \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)</math>

11 La seguente rappresentazione di un segnale periodico <math>x \left( t \right)</math>:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{ + \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)</math>

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali <math>z \left( t \right)</math> che:

• nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato <math>x_T \left( t \right)</math> all'interno del periodo <math>T</math>:

  <math>z \left( t \right) : \, \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = x_T \left( t \right) \quad \forall t \in \left[ 0 , T \right]</math>

• 12 nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze <math>\tfrac{n}{T}</math>, le uniche che contano nel segnale periodico:

  <math>X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)</math>

Esempio: segnale periodico costante

13 Il segnale periodico costante <math>x \left( t \right) = 1</math> si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

<math>\begin{cases} x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Pi}_T \left( t - n T \right) \\ z \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Lambda}_T \left( t - n T \right) = x \left( t \right) \end{cases}</math>

che hanno due differenti supporti (rispettivamente <math>T</math> e <math>2T</math>), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo <math>T</math>) vengono a coincidere.

14 Nel dominio della frequenza i campioni di <math>X_T \left( f \right)</math> e <math>Z \left( f \right)</math> coincidono:

<math>\begin{cases} X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Lambda}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \\

Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T {\mathrm{sinc}}^2 \left( f T \right) \end{cases}</math>

Esempio

15-16 Considerando i segnali <math>x_{2T} \left( t \right)</math>, di supporto <math>2T</math>, e <math>z \left( t \right)</math>, di supporto <math>4T</math>:

<math>\begin{cases} x_{2T} \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{T}{2} \right) \\

z \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{5T}{2} \right) \end{cases}</math> e campionando le loro trasformate di Fourier:

<math>\begin{cases} X_{2T} \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j \pi f T} - e^{-j \pi f T} \right) \\

Z \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j \pi f T} - e^{- j \pi f 5 T} \right) \end{cases}</math> nelle frequenze <math>\tfrac{n}{2T}</math>, i campioni coincidono:

<math>\begin{cases} X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{-j n \frac{\pi}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} \\

Z \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{- j \pi n \frac{5}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} = X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) \end{cases}</math>

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