Teoria ed elaborazione dei segnali/Diagrammi a blocchi

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Diagrammi a blocchi[modifica | modifica sorgente]

Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.

4 Blocchi fondamentali
Sommatore Summer block diagram fundamental block.png <math>y \left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right)</math>
<math>Y \left( f \right) = X_1 \left( f \right) + X_2 \left( f \right)</math>
Ritardatore Delayer block diagram fundamental block.png <math>h \left( t \right) = \delta \left( t - T \right)</math>
<math>H \left( f \right) = e^{- j 2 \pi f T}</math>
<math>y \left( t \right) = x \left( t - T \right)</math>
<math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) e^{- j 2 \pi f T}</math>
Amplificatore Amplifier block diagram fundamental block.png <math>h \left( t \right) = A \delta \left( t \right)</math>
<math>H \left( f \right) = A</math>
<math>y \left( t \right) = A x \left( t \right)</math>
<math>Y \left( f \right) = A X \left( f \right)</math>
2 Tipi di interconnessione
Serie Series block diagram interconnection.png <math>y \left( t \right) = x \left( t \right) * h_1 \left( t \right) * h_2 \left( t \right)</math>
<math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)</math>
Parallelo Parallel block diagram interconnection.png <math>y \left( t \right) = x \left( t \right) * \left[ h_1 \left( t \right) + h_2 \left( t \right) \right]</math>
<math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) \left[ H_1 \left( f \right) + H_2 \left( f \right) \right]</math>
Retroazione (o feedback) Feedback block diagram interconnection.png <math>y \left( t \right) = \left[ x \left( t \right) + y \left( t \right) * h_2 \left( t \right) \right] * h_1 \left( t \right)</math>
<math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) \frac{H_1 \left( f \right)}{1 - H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)}</math>
3 Dimostrazione retroazione

7 Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:

  • senza retroazione (FIR):
    <math>H_{\text{FIR}} \left( f \right) = \sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}</math>
  • con retroazione (IIR):
    <math>H_{\text{IIR}} \left( f \right) = \frac{\sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}}{\sideset{}{_k}\sum{{\beta}_k e^{-j2 \pi f {\tau}_k}}}</math>

Definizioni di banda[modifica | modifica sorgente]

La banda di un segnale o di un sistema[1] può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.

15 Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.

Misura del supporto[modifica | modifica sorgente]

8 La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.

9 Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

Banda a 3 dB[modifica | modifica sorgente]

11 Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.

Su scala lineare (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>)

La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:

  • la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>;
  • la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>.
3-dB bandwidth definition (linear).png
Su scala logaritmica (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}_{\text{dB}}^2 = 20 \log_{10}{\left| H \left( f \right) \right|}</math>)

La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:

  • la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>;
  • la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>.
3-dB bandwidth definition (logarithmic).png
Principali tipi di filtri lineari.png
16 Classificazione dei filtri
  • filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
  • filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
  • filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
  • filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.

Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.

17 Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:

  • guadagno unitario nella banda passante;
  • guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).
Confronto filtro passa-basso ideale e reale.png

I filtri ideali non sono realizzabili.

Banda equivalente di rumore[modifica | modifica sorgente]

Equivalent noise bandwidth definition.png

12 La larghezza di banda <math>B_{\text{eq}}</math> è pari alla larghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo <math>A</math> di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, cioè all'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:
<math>B_{\text{eq}} = \frac{E \left( H \left( f \right) \right)}{A}</math>

Banda che contiene una data percentuale di energia[modifica | modifica sorgente]

Percentage bandwidth definition.png

13 La larghezza di banda <math>B_{x \%}</math> è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'<math>x%</math> dell'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:

<math>B_{x \%} = \left| a - b \right| : \, \int_a^b {\left| H \left( f \right) \right|}^2 df = \frac{x}{100} E \left( H \right)</math>

Estensione di frequenza[modifica | modifica sorgente]

14 La banda è l'estensione di frequenza <math>D</math>:

<math>D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \fracTemplate:\left{H_e \left( f \right)}</math>

Modulazione e demodulazione[modifica | modifica sorgente]

Modulazione[modifica | modifica sorgente]

7 Si ricorda che la modulazione di un segnale <math>x \left( t \right)</math>, cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide[2], corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

20 Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale <math>x \left( t \right)</math> in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento <math>H_c \left( f \right)</math> di tipo passa-banda.

21 Il segnale modulato <math>X' \left( f \right)</math>:

<math>X ' \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:

<math>Y \left( f \right) = \frac{A}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

Demodulazione[modifica | modifica sorgente]

Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:

  1. il segnale ricevuto <math>Y \left( f \right)</math> viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza <math>f_0</math> di prima:
<math>Y' \left( f \right) = \frac{A}{2} X \left( f \right) + \frac{A}{4} \left[ X \left( f - 2 f_0 \right) + X \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>
Dimostrazione

\right\} = \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} * \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} = \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) + 2 \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) \right]</math>

<math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) = \delta \left( f - 2 f_0 \right)</math>
<math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f \right)</math>
<math>\delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f + 2 f_0 \right)</math>
<math>= \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - 2 f_0 \right) + 2 \delta \left( f \right) + \delta \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>

}}

ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
Frequency memodulation (step 1).png
  1. 22 le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.

23 Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:

  • la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
  • la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
  • la frequenza centrale <math>f_0</math> deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.

24 Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

Multiplazione in frequenza[modifica | modifica sorgente]

25 Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze <math>f_i</math> diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Per "banda di un sistema" s'intende la banda della sua funzione di trasferimento <math>H \left( f \right)</math>.
  2. Non si considera la componente immaginaria sinusoidale.
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