Controlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist

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Diagramma polare[modifica | modifica sorgente]

2-3-7 Il diagramma polare di una funzione di trasferimento <math>G (s)</math> permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

<math>G \left( j \omega \right) = \left| G \left( j \omega \right) \right| e^{j \angle G \left( j \omega \right)} , \quad \omega > 0</math>

Ogni punto del diagramma polare, corrispondente ad una certa pulsazione <math>\omega > 0</math>, ha una distanza dall'origine pari al modulo e forma con l'asse reale un angolo pari alla fase.

9 Punto iniziale (<math>\omega \to 0^+</math>)
  • Se la funzione di trasferimento <math>G(s)</math> è priva di poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto sull'asse reale.
  • Se la funzione di trasferimento <math>G(s)</math> ha <math>i</math> poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto posto all'infinito su un asse cartesiano:
    <math>G(s) = \frac{1}{s^i} \Rightarrow \begin{cases} {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} \to + \infty \\ {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} = - {90}^\circ \cdot i \end{cases}</math>
12-14 Punto finale (<math>\omega \to + \infty</math>)
  • Se la funzione di trasferimento <math>G(s)</math> è strettamente propria, il diagramma polare termina nell'origine con fase multipla di <math>\pm {90}^\circ</math>:
    <math>\begin{cases} {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to + \infty} = 0 \\ {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to + \infty} = {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} - {90}^\circ \cdot \left( n_n + m_p \right) + {90}^\circ \cdot \left( n_p + m_n \right) \end{cases}</math>
dove:
  • <math>n_n</math> è il numero di poli a parte reale <math>\leq 0</math> (esclusi i poli nell'origine);
  • <math>n_p</math> è il numero di poli a parte reale <math>> 0</math>;
  • <math>m_n</math> è il numero di zeri a parte reale <math>\leq 0</math>;
  • <math>m_p</math> è il numero di zeri a parte reale <math>> 0</math>.
  • Se la funzione di trasferimento <math>G(s)</math> non è strettamente propria, il diagramma polare termina perpendicolarmente in un punto sull'asse reale diverso dall'origine.

Diagramma di Nyquist[modifica | modifica sorgente]

26 Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento <math>G (s)</math> permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

<math>G \left( j \omega \right) = \left| G \left( j \omega \right) \right| e^{j \angle G \left( j \omega \right)} , \quad \forall \omega</math>

29-30 Ogni polo nell'origine (<math>j \omega_0 = 0</math>)[1] determina una rotazione di fase di <math>- {180}^\circ</math>, rappresentata come una semicirconferenza di raggio infinito percorsa in senso orario da <math>0^-</math> a <math>0^+</math> in modo che il diagramma di Nyquist sia costituito da una curva chiusa.

33 Poiché:

<math>\begin{cases} \left| G \left( - j \omega \right) \right| = \left| G \left( j \omega \right) \right| \\ \angle G \left( - j \omega \right) = - \angle G \left( j \omega \right) \end{cases}</math>

34 per <math>\omega > 0</math> il luogo dei punti <math>G \left( - j \omega \right)</math> risulta simmetrico a quello di <math>G \left( j \omega \right)</math> rispetto all'asse reale → il tracciato di <math>G \left( j \omega \right)</math> per <math>\omega < 0</math> si ottiene dal ribaltamento del diagramma polare corrispondente a <math>\omega > 0</math>.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ↑ In realtà questo vale per qualsiasi coppia di poli complessi coniugati appartenenti all'asse immaginario (cioè a parte reale nulla).
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