Controlli automatici/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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13-30 Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

<math>\begin{cases} \dot x \left( t \right) = A x \left( t \right) + B u \left( t \right) \\

y \left( t \right) = C x \left( t \right) + D u \left( t \right) \end{cases}</math>

17-32 Movimento dello stato <math>x \left( t \right)</math>
<math>x \left( t \right) = x_\ell \left( t \right) + x_f \left( t \right)</math>
  • movimento libero <math>x_{\ell} \left( t \right)</math>: movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale <math>x \left( 0^- \right)</math>;
  • movimento forzato <math>x_f \left( t \right)</math>: movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso <math>u \left( t \right)</math>.
18-34 Movimento dell'uscita <math>y \left( t \right)</math> (risposta del sistema)
<math>y \left( t \right) = y_\ell \left( t \right) + y_f \left( t \right)</math>
  • risposta libera <math>y_{\ell} \left( t \right)</math>: movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale <math>x \left( 0^- \right)</math>;
  • risposta forzata <math>y_f \left( t \right)</math>: movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso <math>u \left( t \right)</math>.

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

32 Formula di Lagrange
<math>\begin{cases} x \left( t \right) = \underbrace{e^{At} x \left( 0^- \right)}_{x_\ell \left( t \right)} + \underbrace{\int_0^t e^{A \left( t - \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau}_{x_f \left( t \right)} \\

y \left( t \right) = \underbrace{C e^{At} x \left( 0^- \right)}_{y_\ell \left( t \right)} + \underbrace{C \int_0^t e^{A \left( t - \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau + D u \left( t \right)}_{y_f \left( t \right)} \end{cases}</math>

Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

16-17-18-19 La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente <math>X \left( s \right)</math> e <math>Y \left( s \right)</math>:

<math>\begin{cases} s X \left( s \right) - x \left( 0^- \right) = A X \left( s \right) + B U \left( s \right) \Rightarrow X \left( s \right) = \underbrace{ \overbrace{ {\left( sI - A \right)}^{-1}}^{H_0^x \left( s \right)} x \left( 0^- \right)}_{ X_\ell \left( s \right) } + \underbrace{ \overbrace{ {\left( sI - A \right)}^{-1} B}^{H_f^x \left( s \right)} U \left( s \right)}_{X_f \left( s \right) } = H_0^x \left( s \right) x \left( 0^- \right) + H_f^x \left( s \right) U \left( s \right) \\

Y \left( s \right) = C X \left( s \right) + D U \left( s \right) = \underbrace{ \overbrace{ C {\left( sI - A \right)}^{-1}}^{H_0 \left( s \right)} x \left( 0^- \right)}_{Y_\ell \left( s \right)} + \underbrace{ \overbrace{ \left[ C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D \right]}^{H \left( s \right)} U \left( s \right)}_{Y_f \left( s \right) } = H_0 \left( s \right) x \left( 0^- \right) + H \left( s \right) U \left( s \right) \end{cases}</math> dove:

  • la matrice <math>H \left( s \right)</math> è detta matrice di trasferimento;
  • la matrice <math>s I_n - A</math> deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più <math>n</math> valori distinti di <math>s</math> che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado <math>n</math>:
    <math>\det \left( s I_n - A \right) = s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \cdots + \alpha_1 s + \alpha_0</math>
  • le matrici <math>H_0^x \left( s \right)</math>, <math>H_f^x \left( s \right)</math>, <math>H_0 \left( s \right)</math> e <math>H \left( s \right)</math> sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa <math>s</math> (a causa della matrice inversa).

Funzione di trasferimento[modifica | modifica sorgente]

20 Per un sistema a <math>p</math> ingressi e <math>q</math> uscite, la matrice di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> è costituita da una matrice a <math>q</math> righe e <math>p</math> colonne di funzioni razionali della variabile <math>s</math>:

<math>\begin{bmatrix} Y_1 \left( s \right) \\ Y_2 \left( s \right) \\ \vdots \\ Y_q \left( s \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_{11} \left( s \right) & H_{12} \left( s \right) & \cdots & H_{1p} \left( s \right) \\ H_{21} \left( s \right) & H_{22} \left( s \right) & \cdots & H_{2p} \left( s \right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ H_{q1} \left( s \right) & H_{q2} \left( s \right) & \cdots & H_{qp} \left( s \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_1 \left( s \right) \\ U_2 \left( s \right) \\ \vdots \\ U_p \left( s \right) \end{bmatrix}</math>

La funzione di trasferimento tra l'uscita <math>Y_i</math> e l'ingresso <math>U_j</math> è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:

<math>Y_i \left( s \right) = H_{i1} \left( s \right) U_1 \left( s \right) + H_{i2} \left( s \right) U_2 \left( s \right) + \cdots + H_{ip} \left( s \right) U_p \left( s \right) = \sum_{j=1}^p H_{ij} \left( s \right) U_j \left( s \right) \Rightarrow H_{ij} \left( s \right) = {\left. \frac{Y_i}{U_j} \right|}_{\forall k : \; U_k \neq 0}</math>

22 Se il sistema è a un ingresso (<math>p = 1</math>) e un'uscita (<math>q = 1</math>) (SISO), allora la matrice di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> si dice funzione di trasferimento.

Forma polinomiale
<math>H \left( s \right) = \frac{N_H \left( s \right)}{D_H \left( s \right)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{ s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} , \quad m \leq n</math>

In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli (<math>m < n</math>).

23 Forma "zeri e poli"
<math>H \left( s \right) = K_{\infty} \frac{\left( s-z_1 \right) \left( s - z_2 \right) \cdots \left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s - p_2 \right) \cdots \left( s-p_n \right)}</math>

dove <math>K_\infty</math> è il guadagno infinito e dipende da <math>n-m</math> (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):

<math>K_\infty = \lim_{s \to \infty} s^{n-m} H \left( s \right)</math>
24 Forma fattorizzata di Bode
<math>H \left( s \right) = K \frac{\left( {s \over z_1} -1 \right) \left( {s \over z_2} -1 \right) \cdots \left( {s \over z_m} -1 \right)}{\left( {s \over p_1} -1 \right) \left( {s \over p_2} -1 \right) \cdots \left( {s \over p_n} -1 \right)}</math>

Rappresentazione di singolarità complesse[modifica | modifica sorgente]

Conjugate complex number representation.png

25-26-27 Per ogni radice complessa <math>s_1</math> esiste sempre la radice complessa coniugata <math>s_2</math>:

<math>\left( s- s_1 \right) \left( s-s_2 \right) = \left( s - \sigma_0 - j \omega_0 \right) \left( s - \sigma_0 + j \omega_0 \right) = s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2</math>

dove:

  • la pulsazione naturale <math>\omega_n</math> è la distanza dall'origine:
    <math>\omega_n = \sqrt{ {\sigma_0}^2 + {\omega_0}^2}</math>
  • lo smorzamento <math>\zeta</math> è il seno dell'angolo <math>\theta</math> formato con l'asse immaginario:
    <math>\zeta = \sin \theta</math>
    • se lo smorzamento <math>\zeta</math> è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
    • se lo smorzamento <math>\zeta</math> è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.
28 Forma "zeri e poli"

Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.

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