Controlli automatici/Analisi delle specifiche

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6 Data <math>F(s)</math>, la funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore da progettare può essere espressa:^[1]

dove:

<math>K_c</math> è il guadagno stazionario del controllore;
<math>h</math> è il numero di poli nell'origine;
<math>C'(s)</math> rappresenta la parte dinamica del controllore:
- è di tipo zero (<math>C(s)</math> deve avere <math>h</math> poli nell'origine);
- ha guadagno stazionario unitario (il guadagno stazionario di <math>C(s)</math> dev'essere pari a <math>K_c</math>).

Sequenza di progetto del controllore

si soddisfano le specifiche statiche;
si determina il segno del guadagno stazionario <math>K_c</math>;
si soddisfano le specifiche dinamiche.

Implicazioni delle specifiche statiche[modifica | modifica sorgente]

7 Specifiche statiche

errore di inseguimento in regime permanente a segnali di riferimento polinomiali;
reiezione o attenuazione di disturbi polinomiali in regime permanente.

Le specifiche statiche impongono vincoli su:

numero <math>h</math> di poli nell'origine;
valore minimo del modulo del guadagno stazionario <math>K_c</math>.

45 L'inserimento di poli nell'origine nell'espressione di <math>C(s)</math> causa una perdita di <math>{90}^\circ</math> riducendo il margine di fase <math>m_\varphi</math> → non vanno inseriti poli non necessari.

Stabilizzabilità del sistema[modifica | modifica sorgente]

48 Il segno del guadagno stazionario <math>K_c</math> viene determinato tramite il diagramma di Nyquist della funzione <math>\tfrac{F(s)}{s^h}</math>: si sceglie il semi-asse reale dove in seguito all'inserimento di <math>C'(s)</math> si avranno possibilità di avere l'asintotica stabilità in catena chiusa del sistema.

Implicazioni delle specifiche dinamiche[modifica | modifica sorgente]

9-62 Specifiche dinamiche

caratteristiche in transitorio della risposta nel tempo a segnali di riferimento canonici, quali il gradino;
risposta in frequenza del sistema in catena chiusa;
inseguimento di segnali sinusoidali;
attenuazione di disturbi sinusoidali.

Le specifiche nel tempo implicano vincoli sulla funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W \left( j \omega \right)</math>, che a loro volta implicano vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a \left( j \omega \right)</math> (in particolare sul margine di fase <math>m_\varphi</math> e sulla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>).

Specifiche sulla risposta al gradino[modifica | modifica sorgente]

Le specifiche sulla risposta al gradino unitario impongono vincoli sulla risposta in frequenza del sistema in catena chiusa:^[2]

63 una specifica sulla sovraelongazione massima <math>\hat s</math> impone un vincolo sul picco di risonanza <math>M_r</math>:
<math>\hat s \leq {\hat s}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} M_r \leq \frac{\left( 1 + {\hat s}_{\text{max}} \right)}{0,9} \\ {M_r}_{\text{dB}} \leq 20 \log_{10}{\frac{\left( 1 + {\hat s}_{\text{max}} \right)}{0,9}} \end{cases}</math>
64 una specifica sul tempo di salita <math>t_s</math> o <math>t_r</math> impone un vincolo sulla banda passante <math>\omega_B</math> (un'eccessiva ampiezza di banda passante diminuisce la reiezione ai disturbi):
<math>t_s \leq {t_s}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} \omega_B \geq \frac{3}{ {t_s}_{\text{max}}} \end{cases}</math>

<math>t_r \leq {t_r}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} \omega_B \geq \frac{2}{ {t_r}_{\text{max}}} \end{cases}</math>

Specifiche sulla risposta in frequenza[modifica | modifica sorgente]

Le specifiche sulla risposta in frequenza (formulate direttamente sulla funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W \left( j \omega \right)</math> o ricavate da specifiche sulla risposta nel tempo) impongono vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a (s)</math>:

66 una specifica sul picco di risonanza <math>M_r</math> impone un vincolo sul margine di fase <math>m_\varphi</math>:^[3]
<math>M_r \leq {M_r}_{\text{max}} \Rightarrow m_\varphi \leq {m_\varphi}_{\text{min}} , \quad {m_\varphi}_{\text{min}} \cong \frac{ {60}^\circ}{ {M_r}_{\text{max}}} \cong {60}^\circ - 5 {\left. {M_r}_{\text{max}} \right|}_{\text{dB}}</math>
67 una specifica sulla banda passante <math>\omega_B</math> impone un vincolo sulla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>:^[4]
<math>\omega_B \lesseqgtr {\omega_B}_{\text{lim}} \Rightarrow \omega_c \lessgtr 0,63 {\omega_B}_{\text{lim}}</math>

Specifiche sull'errore di inseguimento in regime permanente[modifica | modifica sorgente]

68-69 Le specifiche sull'errore massimo di inseguimento in regime permanente <math>E</math> di segnali sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a (s)</math>, in particolare sulla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> rispetto alla pulsazione del segnale <math>\omega_0</math>:^[5]

<math>E \leq E_{\text{max}} \Rightarrow G_a \left( j \omega_0 \right) \gg 1 \Rightarrow \omega_c \gg \omega_0</math>

Specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali[modifica | modifica sorgente]

71 Le specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a(s)</math>, in particolare sul valore della pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> rispetto alla pulsazione del disturbo <math>\omega_d</math>, che variano a seconda del punto di ingresso del disturbo.^[5]

Note[modifica | modifica sorgente]

↑ 58-59-60 In questo corso non verranno trattati i casi in cui è necessaria una funzione <math>C(s)</math> non internamente stabile.
↑ 65 In questo corso non saranno considerate esplicite specifiche sul tempo di assestamento <math>t_a</math>.
↑ Il margine di fase minimo <math>{m_\varphi}_{\text{min}}</math> è ricavabile anche dalla carta di Nichols.
↑ Il margine di fase <math>m_\varphi</math> viene supposto approssimativamente tra <math>{30}^\circ</math> e <math>{60}^\circ</math>. Se, una volta ottenuta la pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> a partire dalla banda passante <math>\omega_B</math> desiderata, la banda passante <math>\omega_B</math> non risulta più quella desiderata sarà necessario modificare per tentativi il coefficiente 0,63.
↑ ^5,0 ^5,1 70-73 Questa specifica deve essere compatibile con le precedenti affinché il controllore sia progettabile.