Teoria ed elaborazione dei segnali/Processi casuali

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2-9 Un processo casuale è un'espressione matematica che descrive una classe di segnali (voce, video, dati...), tramite una o più variabili casuali che corrispondono alle caratteristiche della classe di segnali. Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

7 Un processo casuale X \left( t \right) è quasi determinato se è esprimibile in funzione di un insieme numerabile di variabili casuali.

5 Il verificarsi dell'evento s_i produce la realizzazione x \left( t ; s_i \right); 6 fissato un certo t_0, si ottiene una serie di campioni x \left( t_0, s_i \right).

  • processi quasi determinati: segnale numerico, sinusoide, segnale sample & hold
  • processi non quasi determinati: rumore termico, segnale vocale, segnale audio
Esempi di segnali quasi determinati
4 Segnale numerico 8 Segnale sample & hold 9 Sinusoide
Digital signal as random process.png
Sample-hold signal as random process.png
Sine curve as random process.png
X \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} {\alpha}_i r \left( t - i T \right) X_S \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( n T \right) h \left( t - n T \right) X \left( t \right) = A \cos{\left( 2 \pi f t + \varphi \right)}

13 I segnali determinati sono dei casi degeneri dei processi casuali, perché un segnale determinato è la manifestazione di un'unica realizzazione avente probabilità 1 (non ci sono variabili casuali).

Descrizione probabilistica[modifica]

Statistiche[modifica]

14-15 Consideriamo un processo casuale X \left( t ; s \right) contenente la sola variabile casuale s → a ogni valore s_j è associata una realizzazione x \left( t ; s_j \right) (con j = 1, \ldots , M).

Statistica di ordine 1

Fissato un tempo t_1, l'insieme dei campioni x_1 = x \left( t_1, s_j \right) costituisce l'insieme dei valori per la variabile casuale X_1 = x \left( t_1 \right), per la quale è possibile definire la distribuzione cumulativa F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) e la densità di probabilità f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right):

F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = P \left( X_1 < x_1 \right)
f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)
Statistica di ordine n

Considerando n istanti di tempo t_i, si introduce una probabilità congiunta tra le n variabili casuali X_i:

F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right) = F_{X_1 ,  \ldots , X_n  } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = P \left( X_1 < x_1 , \ldots , X_n < x_n \right)
f_{\mathbf{X} } \left( \mathbf{x}  ; \mathbf{t} \right) = f_{X_1 ,  \ldots , X_n } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = \frac{{\partial}^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right)
Descrizione probabilistica processo casuale.png

Un processo casuale è completamente caratterizzato/descritto se si conoscono le statistiche di qualsiasi ordine (n \to \infty).

Media e autocorrelazione[modifica]

16 Media d'insieme
m_X \left( t \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) \right) = \int x f_X \left( x ; t \right) dx
Funzione di autocorrelazione
R_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( X \left( t_1 \right) X^* \left( t_2 \right) \right) = \iint x_1 x_2^* f_{X_1 , X_2} \left( x_1 , x_2 ; t_1 , t_2 \right) d x_1 d x_2
Autocovarianza
K_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left\{ \left[ X \left( t_1 \right) - m_X \left( t_1 \right) \right] \left[ X \left( t_2 \right) - m_X \left( t_2 \right) \right]^* \right\} = R_X \left( t_1 , t_2 \right) - m_X \left( t_1 \right) m_X^* \left( t_2 \right)
Coefficiente di correlazione
\rho_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq \frac{K_X \left( t_1 , t_2 \right)}{\sqrt{K_X \left( t_1 , t_1 \right) K_X \left( t_2 , t_2 \right)}}
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