Teoria ed elaborazione dei segnali/Stazionarietà

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Stazionarietà[modifica]

2-3 Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

Esempi
  • processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
  • processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso stretto[modifica]

4-5-6 Siccome per la densità di probabilità congiunta vale:

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine () eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine dipendono da variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine vale:

Stazionarietà in senso lato (WSS)[modifica]

  • 7 Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media è una costante e non dipende dal tempo:
Dimostrazione
  • Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione dipende solo dalla differenza :
Dimostrazione

8 Un processo è stazionario in senso lato se la media è una costante, e la funzione di autocorrelazione dipende solo da :

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

Ciclostazionarietà[modifica]

19-20 Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

Esempi
  • processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
  • processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso stretto[modifica]

21 Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta è periodica di periodo :

Ciclostazionarietà in senso lato[modifica]

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media è periodica, e la funzione di autocorrelazione è periodica rispetto a e :

Stazionarizzazione[modifica]

29-30-31 La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà , tramite la nuova variabile casuale che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).

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