Teoria ed elaborazione dei segnali/Stazionarietà

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Stazionarietà[modifica]

2-3 Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

\text{se } x \left( t \right) \in \mathcal{P} \Rightarrow \begin{cases} x \left( t - t_0 \right) \in \mathcal{P} \\
P \left( x \left( t \right) \right) = P \left( x \left( t - t_0 \right) \right) \end{cases} \quad \forall t_0
Esempi
  • processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
  • processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso stretto[modifica]

4-5-6 Siccome per la densità di probabilità congiunta f_{\mathbf{X}} vale:

f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 + t_0 , \ldots , t_n + t_0 \right) \quad \forall t_0

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine (t_0 = - t_1) eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine n dipendono da n - 1 variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine n vale:

\begin{array}{l}
f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 - t_1 \right) = f_{X_1} \left( x_1 ; 0 \right) \\
f_{\mathbf{X}} \left( x_1, x_2 ; t_1, t_2 \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1, x_2 ; 0 , t_2 - t_1 \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , x_2 ; 0 , \tau \right) \\
\vdots \\
f_{\mathbf{X}} \left( x_1, \ldots , x_n ; t_1, \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; \tau_1 , \ldots , \tau_{n - 1} \right) \\
\end{array}

Stazionarietà in senso lato (WSS)[modifica]

  • 7 Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media m_X \left( t \right) è una costante e non dipende dal tempo:
m_X \left( t \right) = m_X
Dimostrazione
m_X \left( t \right)  = \int x f_{X} \left( x ; t \right) dx = \int x f_X \left( x ; 0 \right) dx = m_X
  • Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione R_X \left( t_1 , t_2 \right) dipende solo dalla differenza \tau = t_2 - t_1:
R_X \left( t_ 1 , t_2 \right) = R_X \left( \tau \right) = E \left[ X \left( t \right) X^* \left( t + \tau \right) \right]
Dimostrazione
R_X \left( t_1 , t_2 \right) = \int x_2 x_2^* f_X \left( x_1 , x_2 ; t_1 , t_2 \right) dx_1 dx_2 = \int x_1 x_2^* f_X \left( x_1 , x_2 ; 0 , \tau \right) dx_1 dx_2 = R_X \left( \tau \right)

8 Un processo è stazionario in senso lato se la media m_X \left( t \right) è una costante, e la funzione di autocorrelazione R_X \left( t_1 , t_2 \right) dipende solo da \tau:

\begin{cases} m_X \left( t \right) = m_X \\ R_X \left( t_ 1 , t_2 \right) = R_X \left( \tau \right) \end{cases}

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

Ciclostazionarietà[modifica]

19-20 Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita T detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

\exists T : \text{se } x \left( t \right) \in \mathcal{P} \Rightarrow \begin{cases} x \left( t - iT \right) \in \mathcal{P} \\
P \left( x \left( t \right) \right) = P \left( x \left( t - iT \right) \right) \end{cases} \quad \forall i \in \Z
Esempi
  • processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
  • processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso stretto[modifica]

21 Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta f_{\mathbf{X}} è periodica di periodo T:

f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 - iT , \ldots , t_n - iT \right) \quad \forall i \in \Z

Ciclostazionarietà in senso lato[modifica]

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media m_X \left( t \right) è periodica, e la funzione di autocorrelazione R_X \left( t_1 , t_2 \right) è periodica rispetto a t_1 e t_2:

\begin{cases} m_X \left( t \right) = m_X \left( t - iT \right) \\
R_X \left( t_1 , t_2 \right) = R_X \left( t_1 - T , t_2 - iT \right) \end{cases} \quad \forall i \in \Z

Stazionarizzazione[modifica]

29-30-31 La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà T, tramite la nuova variabile casuale \theta che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).

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