Teoria ed elaborazione dei segnali/Spettro di energia e segnali troncati

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Segnali troncati[modifica]

12 A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo T:[1]

\begin{cases} x_T \left( t \right) = x \left( t \right) \cdot \Pi_T \left( t  \right) \\
X_T \left( f \right) = X \left( f \right) * \mathcal{F} \left\{ \Pi_T \left( t  \right) \right\} = X \left( f \right) * T \mathrm{sinc} \left( f T \right)  \end{cases}

13 Se il segnale x \left( t \right) ha una banda limitata in frequenza:

X \left( f \right) = 0 \quad \left| f \right| > \frac{B}{2}

si può scrivere:

X_T \left( f \right) = T \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( \varphi \right) \mathrm{sinc} \left( \left( f - \varphi \right) T \right) d \varphi

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale x \left( t \right) è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

X_T \left( f \right) \neq 0 \quad \left| f \right| > \frac{B}{2}

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

Truncated signal Fourier transformation.png

Fenomeno di Gibbs[modifica]

14 Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

\lim_{T \to + \infty} \left[ T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \right] = \delta \left( f \right)

la seguente relazione:

\lim_{T \to + \infty} X_T \left( f \right) = X \left( f \right)

15 continua a non valere se il segnale x \left( t \right) presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio
\begin{cases} x \left( t \right) = B \mathrm{sinc} \left( B t \right) \\
X \left( f \right) = \Pi_B \left( f \right) \end{cases}

16 Facendo tendere T a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

Gibbs phenomenon example.png

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione[modifica]

Segnali a energia finita[modifica]

Spettro di energia[modifica]

2 Lo spettro di energia S_x \left( f \right) di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

S_x \left( f \right) \triangleq {\left| X \left( f \right) \right|}^2  = X \left( f \right) X^* \left( f \right) \Rightarrow E \left( x \right) = \int S_x \left( f \right) d f

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

Y \left( f \right) = H \left( f \right) X \left( f \right) \Rightarrow  S_y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_x \left( f \right) \Rightarrow E \left( y \right) = \int S_y \left( f \right) df

Funzione di autocorrelazione[modifica]

3 La funzione di autocorrelazione R_x \left( \tau \right) è definita:

R_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_x \left( f \right) \right\} = x \left( \tau \right) * x^* \left( - \tau \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) , x \left( t \right) \rangle

Nell'origine:

R_x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) x^* \left( t \right) dt = E \left( x \right) \in {\R}^+
Proprietà
  • 5 Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
R_x \left( \tau \right) = R_x^* \left( - \tau \right)
Se il segnale x \left( t \right) è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
R_x \left( \tau \right) = R_x \left ( - \tau \right)
  • Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:
{\left| R_x \left( \tau \right) \right|}^2 = {\left| \int x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) d t \right|}^2 \leq E^2 \left( x \right) = R_x^2 \left( 0 \right)

Mutua correlazione[modifica]

7 Considerando una coppia di segnali x \left( t \right) e y \left( t \right), si definiscono funzione di mutua correlazione R_{xy} \left( \tau \right):

R_{xy} \left( \tau \right) \triangleq x \left( \tau \right) * y \left( - \tau \right) = \int x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) dt = R_{yx}^* \left( \tau \right)

e spettro di energia mutua S_{xy} \left( f \right):

S_{xy} \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left( R_{xy} \left( \tau \right) \right) = X \left( f \right) Y^* \left( f \right) = S_{yx}^* \left( f \right)

Considerando la somma z \left( t \right) di questi due segnali:

{\left| Z \left( f \right) \right|}^2 = {\left| X \left( f \right) \right|}^2 + {\left| Y \left( f \right) \right|}^2 + 2 \Re{\left\{ X \left( f \right) Y^* \left( f \right) \right\}} \Rightarrow \begin{cases} S_z \left( f \right) = S_x \left( f \right) + S_y \left( f \right) + 2 \Re{\left\{ S_{xy} \left( f \right) \right\}} \\ R_z \left( \tau \right) = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + 2 \Re{\left\{ R_{xy} \left( \tau \right) \right\}} \end{cases}
8 Dimostrazione
R_z \left( \tau \right) = \int_{- \infty}^{+\infty} z \left( t + \tau \right) z^* \left( t \right) dt = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ x \left( t + \tau \right) + y \left( t + \tau \right) \right] \left[ x^* \left( t \right) + y^* \left( t \right) \right] dt = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + R_{xy} \left( \tau \right) + R_{yx} \left( \tau \right) = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + 2 \Re{\left\{ R_{xy} \left( \tau \right) \right\}}

Segnali periodici[modifica]

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico x \left( t \right) è finita:

\begin{cases} P \left( x \right) = \frac{1}{T} E \left( x_T \right) \\
E \left( x_T \right) = T \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \end{cases} \Rightarrow P \left( x \right) = \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \in \R

Spettro di potenza[modifica]

Lo spettro di potenza G_x \left( f \right) di un segnale periodico x \left( t \right) vale:

G_x \left( f \right) \triangleq \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \delta \left( f - \frac{i}{T} \right)

La formula dello spettro di potenza G_x \left( f \right) ricorda quella della trasformata di Fourier di x \left( t \right):

X \left( f \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_i \delta \left( f - \frac{i}{T} \right)

Funzione di autocorrelazione[modifica]

La funzione di autocorrelazione R_x \left( \tau \right) di un segnale periodico x \left( t \right) vale:

R_x \left( \tau \right) \triangleq \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finita[modifica]

10 Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energia[modifica]

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato x_T \left( t \right) (normalizzato):

S_T \left( f \right) \triangleq \frac{1}{T} {\left| X_T \left( f \right) \right|}^2

dove T è un intervallo a piacere.

Spettro di potenza[modifica]

Lo spettro di potenza G_x \left( f \right) è definito:

G_x \left( f \right) \triangleq \lim_{T \to + \infty} S_T \left( f \right) = \lim_{T \rightarrow + \infty} \frac{1}{T} {\left| X_T \left( f \right) \right|}^2

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

11 Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

G_y \left( f \right) = G_x \left( f \right) {\left| H \left( f \right) \right|}^2

Funzione di autocorrelazione[modifica]

La funzione di autocorrelazione \Phi_x \left( \tau \right) è definita:

\Phi_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ G_x \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt

L'integrale \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt cresce linearmente con T, quindi questa crescita è compensata da \tfrac{1}{T}.

Note[modifica]

  1. Si sottointende che l'intervallo T è centrato rispetto all'origine.
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