Teoria ed elaborazione dei segnali/Spettro di energia e segnali troncati

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Segnali troncati[modifica]

12 A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo :[1]

13 Se il segnale ha una banda limitata in frequenza:

si può scrivere:

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

Truncated signal Fourier transformation.png

Fenomeno di Gibbs[modifica]

14 Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

la seguente relazione:

15 continua a non valere se il segnale presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio

16 Facendo tendere a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

Gibbs phenomenon example.png

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione[modifica]

Segnali a energia finita[modifica]

Spettro di energia[modifica]

2 Lo spettro di energia di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

Funzione di autocorrelazione[modifica]

3 La funzione di autocorrelazione è definita:

Nell'origine:

Proprietà
  • 5 Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
Se il segnale è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
  • Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:

Mutua correlazione[modifica]

7 Considerando una coppia di segnali e , si definiscono funzione di mutua correlazione :

e spettro di energia mutua :

Considerando la somma di questi due segnali:

8 Dimostrazione

Segnali periodici[modifica]

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico è finita:

Spettro di potenza[modifica]

Lo spettro di potenza di un segnale periodico vale:

La formula dello spettro di potenza ricorda quella della trasformata di Fourier di :

Funzione di autocorrelazione[modifica]

La funzione di autocorrelazione di un segnale periodico vale:

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finita[modifica]

10 Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energia[modifica]

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato (normalizzato):

dove è un intervallo a piacere.

Spettro di potenza[modifica]

Lo spettro di potenza è definito:

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

11 Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

Funzione di autocorrelazione[modifica]

La funzione di autocorrelazione è definita:

L'integrale cresce linearmente con , quindi questa crescita è compensata da .

Note[modifica]

  1. Si sottointende che l'intervallo è centrato rispetto all'origine.
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