Controlli automatici/Stabilità esterna e risposta a regime

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7 Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:

  • la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
  • la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato [math]A[/math] compaiono come poli della funzione di trasferimento.

Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI[modifica]

11 Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso [math]u \left( t \right)[/math] limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:

[math]\forall \bar u \in \left( 0 , + \infty \right) , \; \exists \bar y \in \left( 0 , + \infty \right) : \; \left\| u \left( t \right) \right\| \leq \bar u , \; \forall t \geq 0 \Rightarrow \left\| y \left( t \right) \right\| \leq \bar y , \; \forall t \geq 0[/math]

12 Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:

  • a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento [math]H \left( s \right)[/math], una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli [math]p[/math] con parte reale [math]\Re{\left\{ p \right\}} \lt 0 , \; \forall p[/math];
  • a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento [math]H \left( z \right)[/math], una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli [math]p[/math] con modulo [math]\left| p \right| \lt 1 , \; \forall p[/math].

13 La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

Risposta in regime permanente[modifica]

17 Il movimento [math]x(t)[/math] di un sistema dinamico LTI proprio:

[math]\begin{cases} \dot x (t) = A x(t) + B u(t) \\ y (t) = C x(t) \end{cases}[/math]

può essere espresso come:

[math]x(t) = x_{\text{omog}} (t) + x_{\text{part}} (t)[/math]
  • [math]x_{\text{omog}} (t)[/math] è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui [math]u(t) = 0[/math] (corrisponde all'evoluzione libera dello stato [math]x_\ell (t)[/math] per un opportuno stato iniziale [math]x_\ell \left( t = 0 \right)[/math]);
  • [math]x_{\text{part}} (t)[/math] è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso [math]u(t)[/math] applicato.

21 Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta [math]y(t)[/math] ad un qualsiasi ingresso [math]u(t)[/math] può essere allora espressa come:

[math]y(t) = \underbrace{C x_{\text{omog}} (t)}_{y_{\text{omog}} (t)} + \underbrace{C x_{\text{part}} (t) }_{y_{\text{part}} (t)} = y_{\text{omog}} (t) + y_{\text{part}} (t)[/math]
  • un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine [math]y_{\text{omog}} (t)[/math];
  • una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine [math]y_{\text{part}} (t)[/math].

18 Il termine [math]y_{\text{omog}} (t)[/math] è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:

[math]\lim_{t \to + \infty} y_{\text{omog}} (t) = 0 \Rightarrow \lim_{t \to + \infty} y (t) = y_{\text{part}} (t)[/math]

Il termine [math]y_{\text{part}} (t)[/math] dipende dal particolare ingresso [math]u(t)[/math] applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:

  • 19 ingresso costante [math]u(t) = \bar u \cdot \varepsilon (t)[/math]:
    [math]y_{\text{part}} (t) = \bar y \varepsilon (t) , \quad \bar y = H \left( 0 \right) \bar u = - C {A}^{-1} B \bar u[/math]
  • 20 ingresso sinusoidale [math]u(t) = \bar u \sin{\left( \omega_0 t + \theta_0 \right)} \varepsilon (t)[/math]:
    [math]y_{\text{part}} (t) = \bar y \sin{\left( \omega_0 t + \varphi \right)} \varepsilon (t) , \quad \begin{cases} \bar y = \left| H \left( j \omega_0 \right) \right| \cdot \bar u \\ \varphi = \arg{H \left( j \omega_0 \right)} + \theta_0 \end{cases}[/math]
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