Controlli automatici/Stabilità esterna e risposta a regime

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7 Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:

  • la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
  • la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato compaiono come poli della funzione di trasferimento.

Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI[modifica]

11 Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:

12 Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:

  • a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento , una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli con parte reale ;
  • a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento , una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli con modulo .

13 La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

Risposta in regime permanente[modifica]

17 Il movimento di un sistema dinamico LTI proprio:

può essere espresso come:

  • è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui (corrisponde all'evoluzione libera dello stato per un opportuno stato iniziale );
  • è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso applicato.

21 Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta ad un qualsiasi ingresso può essere allora espressa come:

  • un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine ;
  • una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine .

18 Il termine è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:

Il termine dipende dal particolare ingresso applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:

  • 19 ingresso costante :
  • 20 ingresso sinusoidale :
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