Controlli automatici/Stima dello stato e regolatore dinamico

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Stimatore asintotico[modifica | modifica sorgente]

5-7 Lo stimatore (o ricostruttore, o osservatore) dello stato è un sistema dinamico che serve per trovare, a partire dall'uscita <math>y (t)</math> e dall'ingresso <math>u(t)</math>, una stima <math>\hat x \left( t \right)</math> dello stato <math>x( t )</math>.

8 Per uno stimatore dello stato si definisce l'errore di stima <math>e(t) \in \R^n</math> come la differenza tra lo stato stimato <math>\hat x \left( t \right)</math> e lo stato <math>x \left( t \right)</math>:

<math>e(t) = \hat x (t) - x(t)</math>

Lo stimatore dello stato è detto asintotico se l'errore di stima si annulla al tendere del tempo all'infinito:

<math>\lim_{t \to + \infty} \left\| e (t) \right\| = \lim_{t \to + \infty} \left\| \hat x (t) - x (t) \right\| = 0</math>

Stimatore asintotico 1[modifica | modifica sorgente]

Osservatore asintotico dello stato 1.png

10 Il comportamento dinamico dell'errore di stima <math>e(t)</math> coincide con il movimento libero dello stato del sistema:

<math>\dot e (t) = \dot {\hat x} (t) - \dot x (t) = A e(t) \Rightarrow e (t) = \exp{\left( At \right)} e \left( 0 \right)</math>
9 Dimostrazione

Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

<math>\lim_{t \to + \infty} \left\| e (t) \right\| = 0</math>

occorre che:

  • tutti i modi naturali associati agli autovalori di <math>A</math> siano convergenti (sistema asintoticamente stabile);
oppure
  • l'errore di stima iniziale sia nullo:
    <math>e \left( 0 \right) = 0</math>

Stimatore asintotico 2[modifica | modifica sorgente]

Osservatore asintotico dello stato 2.png

12 Per tenere conto della misura dell'uscita <math>y(t)</math> si può aggiungere il termine di correzione:

<math>-L \left( \hat y (t) - y (t) \right)</math>

che dipende dall'errore tra l'uscita <math>y(t)</math> e l'uscita stimata <math>\hat y \left( t \right)</math>:

<math>\dot{\hat x} (t) = A \hat x (t) + B u (t) - L \left( \hat y (t) - y (t) \right)</math>

dove <math>L \in \R^{n \times 1}</math> è detta matrice dei guadagni dello stimatore.

14 Il comportamento dinamico dell'errore di stima <math>e(t)</math> è quindi governato dal movimento libero del sistema:

<math>\dot e (t) = \left( A-LC \right) e(t) \Rightarrow e(t) = \exp{\left[ \left( A-LC \right) t \right]} e \left( 0 \right)</math>
13 Dimostrazione

Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

<math>\lim_{t \to + \infty} \left\| e (t) \right\| = 0</math>

occorre che tutti i modi naturali associati agli autovalori di <math>A-LC</math> siano convergenti (sistema asintoticamente stabile).

15 Teorema (duale al teorema di assegnazione degli autovalori)

Se il sistema dinamico risulta completamente osservabile:

<math>\rho{\left( M_O \right)} = n</math>

allora è sempre possibile trovare una matrice <math>L</math> tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice <math>A-LC</math> per realizzare lo stimatore asintotico dello stato.

16 Per il principio di dualità, si può applicare il teorema di assegnazione degli autovalori al sistema duale: l'assegnazione ad arbitrio degli <math>n</math> autovalori della matrice <math>{\left( A-LC \right)}^T = A^T - C^T L^T</math> perché il sistema duale sia completamente raggiungibile garantisce che il sistema primale sia completamente osservabile. In particolare si interviene sulla matrice <math>L^T</math> in modo che gli <math>n</math> autovalori della matrice <math>A^T - C^T L^T</math> coincidano con <math>n</math> numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente osservabile, è possibile modificare in maniera arbitraria solo gli <math>o</math> autovalori corrispondenti alla sua parte osservabile.

Regolatore dinamico[modifica | modifica sorgente]

Sistema controllato complessivo

4-33-34 La legge di controllo per retroazione statica dallo stato richiede che tutti gli stati siano accessibili (misurabili).

35-36 Quando non tutti gli stati sono accessibili, è possibile realizzare una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato usando lo stato stimato <math>\hat x (t)</math> fornito dallo stimatore asintotico:

<math>u (t) = -K \hat x \left( t \right) + \alpha r(t)</math>

37 Il sistema controllato complessivo si compone di:

  • sistema da controllare;
  • regolatore dinamico, che si compone di:
    • stimatore asintotico dello stato (progetto di <math>L</math>);
    • legge di controllo (progetto di <math>K</math>).

38-39 Il sistema controllato complessivo è descritto da <math>2n</math> equazioni di stato:

<math>\begin{cases} \dot x (t) = A x(t) + B u (t) & \text{(equazione di stato del sistema)} \\

y (t) = C x (t) +D u(t) & \text{(equazione di uscita del sistema)} \\ \dot{\hat x} (t) = A \hat x (t) + B u(t) - L \left( \hat y (t) - y(t) \right) & \text{(equazione di stato dello stimatore)} \\ \hat y (t) = C \hat x (t) + D u(t) & \text{(stima dell'uscita)} \\ u(t) = -K \hat x (t) + \alpha r(t) & \text{(legge di controllo)} \end{cases}</math> in <math>2n</math> variabili di stato:

  • <math>n</math> variabili di stato del sistema da controllare;
  • <math>n</math> variabili di stato dello stimatore asintotico.

41 Introducendo come vettore di stato:

<math>x_{\text{tot}}^I (t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ \hat x (t) \end{bmatrix}</math>

e assumendo <math>r(t)</math> e <math>y(t)</math> rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

<math>\begin{cases} {\dot x}_{\text{tot}}^I (t) = A_{\text{reg}}^I x_{\text{tot}}^I (t) + B_{\text{reg}}^I r(t) \\ y (t) = C_{\text{reg}}^I x_{\text{tot}}^I (t) + D_{\text{reg}}^I r(t) \end{cases}</math>

dove:

<math>A_{\text{reg}}^I = \begin{bmatrix} A & -BK \\ LC & A-BK-LC \end{bmatrix}</math>
<math>B_{\text{reg}}^I = \begin{bmatrix} B \\ B \end{bmatrix} \alpha</math>
<math>C_{\text{reg}}^I = \begin{bmatrix} C & -DK \end{bmatrix}</math>
<math>D_{\text{reg}}^I = \begin{bmatrix} D \end{bmatrix} \alpha</math>

43 Introducendo come vettore di stato:

<math>x_{\text{tot}}^{II} (t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ \hat x (t) - x(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(t) \\ e(t) \end{bmatrix}</math>

e assumendo <math>r(t)</math> e <math>y(t)</math> rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

<math>\begin{cases} {\dot x}_{\text{tot}}^{II} (t) = A_{\text{reg}}^{II} x_{\text{tot}}^{II} (t) + B_{\text{reg}}^{II} r(t) \\ y (t) = C_{\text{reg}}^{II} x_{\text{tot}}^{II} (t) + D_{\text{reg}}^{II} r(t) \end{cases}</math>

dove:

<math>A_{\text{reg}}^{II} = \begin{bmatrix} A-BK & -BK \\ 0_{n \times n} & A-LC \end{bmatrix}</math>
<math>B_{\text{reg}}^{II} = \begin{bmatrix} B \\ 0_{n \times 1} \end{bmatrix} \alpha</math>
<math>C_{\text{reg}}^{II} = \begin{bmatrix} C-DK & -DK \end{bmatrix}</math>
<math>D_{\text{reg}}^{II} = \begin{bmatrix} D \end{bmatrix} \alpha</math>

44-45 La matrice <math>A_{\text{reg}}^{II}</math> è triangolare a blocchi, e per i suoi <math>2n</math> autovalori vale la proprietà di separazione:

  • <math>n</math> autovalori dipendono solo da <math>K</math>;
  • <math>n</math> autovalori dipendono solo da <math>L</math>.

46 La proprietà di separazione rende la seconda soluzione preferibile rispetto alla prima per il progetto del regolatore:

  • il progetto della legge di controllo determina la matrice dei guadagni <math>K</math>;
  • il progetto dello stimatore asintotico dello stato determina la matrice dei guadagni <math>L</math>.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Sistemi LTI a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

48-49 La funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math>, definita per condizioni iniziali nulle, rappresenta solo il legame tra la parte raggiungibile dell'uscita <math>y(t)</math> e la parte osservabile dell'ingresso <math>r(t)</math>. La funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> tra l'ingresso <math>r \left( t \right)</math> e l'uscita <math>y (t)</math> del sistema controllato complessivo risulta coincidente a quella ottenuta nel caso della retroazione statica dallo stato, poiché l'errore di stima iniziale <math>e \left( 0 \right)</math> è posto nullo, e nel caso SISO i poli di <math>H \left( s \right)</math> sono solo gli autovalori di <math>A-BK</math> perché i poli associati agli autovalori di <math>A-LC</math> si cancellano con gli zeri:

<math>H \left( s \right) = \left\{ \left( C-DK \right) {\left[ sI - \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\} \alpha</math>

In realtà, vi è un transitorio iniziale dovuto alla parte non raggiungibile, cioè l'errore di stima <math>e(t)</math> inizialmente non nullo, che costituisce la differenza rispetto al sistema privo di stimatore asintotico.

50 Il problema della regolazione si risolve con la scelta dello stesso <math>\alpha</math> del caso della retroazione statica dallo stato:

<math>\alpha = {\left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right]}^{-1}</math>

Sistemi LTI a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

51 Matrice di trasferimento <math>H \left( z \right)</math> tra l'ingresso <math>r \left( k \right)</math> e l'uscita <math>y \left( k \right)</math>
<math>H \left( z \right) = \left\{ \left( C-DK \right) {\left[ zI - \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\} \alpha</math>
Condizione di regolazione
<math>\alpha = {\left\{ \left( C-DK \right) {\left[ I - \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\}}^{-1}</math>
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