Controlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali

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2 La risposta in frequenza descrive la risposta in regime permanente y_p (t) di un sistema asintoticamente stabile a un segnale sinusoidale.

Precisione in regime permanente[modifica]

Inseguimento di segnali sinusoidali[modifica]

3 Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato l'ingresso di riferimento sinusoidale r(t):

r(t) = \sin{\left( \omega_0 t \right)}

l'errore di inseguimento in regime permanente e_p (t) è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento d'errore W_e (s) all'ingresso r(t):

e_p (t) = E \sin{\left( \omega_0 t + \varphi_e \right)}

dove:

  • E = \left| W_e \left( j \omega_0 \right) \right|
  • \varphi_e = \arg{\left( W_e \left( j \omega_0 \right) \right)}
  • W_e (s) = \frac{e(s)}{r(s)} = \frac{K_r}{1+ G_a (s)}

L'errore di inseguimento in regime permanente e_p(t) massimo, pari a E (per le proprietà del seno), è piccolo se la funzione d'anello G_a(s) è sufficientemente grande alla pulsazione \omega_0 dell'ingresso:

E = \left| \frac{K_r}{1+ G_a \left( j \omega_0 \right)} \right|

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

9-10 Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente e_p(t) a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello G_a(s), in particolare sulla pulsazione di cross-over \omega_c rispetto alla pulsazione \omega_0 dell'ingresso:

\left| e_p \right| \leq {e_p}_{\text{max}} \Rightarrow E \leq {e_p}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_0 \right) \right| \geq {G_a}_{\text{min}} \Rightarrow \omega_0 \ll \omega_c \Rightarrow \omega_B \gg \omega_0

Reiezione di disturbi in regime permanente[modifica]

Effetti sull'uscita in regime permanente di disturbi sinusoidali[modifica]

12 Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato il disturbo sinusoidale d_{\text{sin}} (t):

d_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}

l'effetto {y_p}_{\text{sin}} (t) sull'uscita in regime permanente y_p (t) è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento W_{ d_{\text{sin}}} (s) al disturbo d_{\text{sin}} (t):

{y_p}_{\text{sin}} (t) = Y_{d,p} \sin{\left( \omega_d t + \varphi_d \right)}

dove:

  • Y_{d,p} = D_s \left| W_{ d_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right|
  • \varphi_d = \arg{\left( W_{ d_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right)}
  • W_{ d_{\text{sin}}} (s) = \frac{d_{\text{sin}} (s)}{y (s)}

L'effetto {y_p}_{\text{sin}} massimo del disturbo sull'uscita in regime permanente, pari a Y_{d,p} (per le proprietà del seno), è piccolo, cioè il disturbo d_{\text{sin}} (t) è molto attenuato, se il modulo della funzione di trasferimento W_{ d_{\text{sin}}} (s) è sufficientemente grande alla pulsazione del disturbo \omega_d.

15 Disturbo posto sull'uscita

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale {d_y}_{\text{sin}} (t) posto sull'uscita y(t) è tanto più elevata quanto è grande la funzione d'anello G_a(s) alla pulsazione \omega_d del disturbo → sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over \omega_c:

{W_{ {d_y}_{\text{sin}}}} (s) = \frac{1}{1+ G_a(s)}
17 Disturbo posto sul riferimento

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale {d_r}_{\text{sin}} (t) posto sul riferimento y_{\text{des}} (t) è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello G_a(s) alla pulsazione \omega_d del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over \omega_c:

{W_{ {d_r}_{\text{sin}}}} (s) = \frac{G_a(s)}{1+ G_a(s)}
20 Disturbo posto sulla retroazione

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale {d_m}_{\text{sin}} (t) posto sulla retroazione è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello G_a(s) alla pulsazione \omega_d del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over \omega_c:

{W_{ {d_m}_{\text{sin}}}} (s) = - \frac{G_a(s)}{1+ G_a(s)} = - {W_{ {d_r}_{\text{sin}}}} (s)

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

28 Le specifiche sull'attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello G_a(s), in particolare sulla pulsazione di cross-over \omega_c rispetto alla pulsazione \omega_d del disturbo:

  • 29 disturbo posto sull'uscita:
    {y_p}_{\text{sin}} (t) \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow Y_{d,p} \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_d \right) \right| \geq {G_a}_{\text{min}} \Rightarrow \omega_d \ll \omega_c \Rightarrow \omega_B \gg \omega_d
  • 30 disturbo posto sul riferimento o sulla retroazione:
    {y_p}_{\text{sin}} (t) \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow Y_{d,p} \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_d \right) \right| \leq {G_a}_{\text{max}} \Rightarrow \omega_d \gg \omega_c \Rightarrow \omega_B \ll \omega_d
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