Controlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali

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2 La risposta in frequenza descrive la risposta in regime permanente <math>y_p (t)</math> di un sistema asintoticamente stabile a un segnale sinusoidale.

Precisione in regime permanente[modifica | modifica sorgente]

Inseguimento di segnali sinusoidali[modifica | modifica sorgente]

3 Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato l'ingresso di riferimento sinusoidale <math>r(t)</math>:

<math>r(t) = \sin{\left( \omega_0 t \right)}</math>

l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_p (t)</math> è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento d'errore <math>W_e (s)</math> all'ingresso <math>r(t)</math>:

<math>e_p (t) = E \sin{\left( \omega_0 t + \varphi_e \right)}</math>

dove:

  • <math>E = \left| W_e \left( j \omega_0 \right) \right|</math>
  • <math>\varphi_e = \arg{\left( W_e \left( j \omega_0 \right) \right)}</math>
  • <math>W_e (s) = \frac{e(s)}{r(s)} = \frac{K_r}{1+ G_a (s)}</math>

L'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_p(t)</math> massimo, pari a <math>E</math> (per le proprietà del seno), è piccolo se la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> è sufficientemente grande alla pulsazione <math>\omega_0</math> dell'ingresso:

<math>E = \left| \frac{K_r}{1+ G_a \left( j \omega_0 \right)} \right|</math>

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]

9-10 Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_p(t)</math> a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello <math>G_a(s)</math>, in particolare sulla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> rispetto alla pulsazione <math>\omega_0</math> dell'ingresso:

<math>\left| e_p \right| \leq {e_p}_{\text{max}} \Rightarrow E \leq {e_p}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_0 \right) \right| \geq {G_a}_{\text{min}} \Rightarrow \omega_0 \ll \omega_c \Rightarrow \omega_B \gg \omega_0</math>

Reiezione di disturbi in regime permanente[modifica | modifica sorgente]

Effetti sull'uscita in regime permanente di disturbi sinusoidali[modifica | modifica sorgente]

12 Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato il disturbo sinusoidale <math>d_{\text{sin}} (t)</math>:

<math>d_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}</math>

l'effetto <math>{y_p}_{\text{sin}} (t)</math> sull'uscita in regime permanente <math>y_p (t)</math> è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento <math>W_{ d_{\text{sin}}} (s)</math> al disturbo <math>d_{\text{sin}} (t)</math>:

<math>{y_p}_{\text{sin}} (t) = Y_{d,p} \sin{\left( \omega_d t + \varphi_d \right)}</math>

dove:

  • <math>Y_{d,p} = D_s \left| W_{ d_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right|</math>
  • <math>\varphi_d = \arg{\left( W_{ d_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right)}</math>
  • <math>W_{ d_{\text{sin}}} (s) = \frac{d_{\text{sin}} (s)}{y (s)}</math>

L'effetto <math>{y_p}_{\text{sin}}</math> massimo del disturbo sull'uscita in regime permanente, pari a <math>Y_{d,p}</math> (per le proprietà del seno), è piccolo, cioè il disturbo <math>d_{\text{sin}} (t)</math> è molto attenuato, se il modulo della funzione di trasferimento <math>W_{ d_{\text{sin}}} (s)</math> è sufficientemente grande alla pulsazione del disturbo <math>\omega_d</math>.

15 Disturbo posto sull'uscita

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale <math>{d_y}_{\text{sin}} (t)</math> posto sull'uscita <math>y(t)</math> è tanto più elevata quanto è grande la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> alla pulsazione <math>\omega_d</math> del disturbo → sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>:

<math>{W_{ {d_y}_{\text{sin}}}} (s) = \frac{1}{1+ G_a(s)}</math>
17 Disturbo posto sul riferimento

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale <math>{d_r}_{\text{sin}} (t)</math> posto sul riferimento <math>y_{\text{des}} (t)</math> è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> alla pulsazione <math>\omega_d</math> del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>:

<math>{W_{ {d_r}_{\text{sin}}}} (s) = \frac{G_a(s)}{1+ G_a(s)}</math>
20 Disturbo posto sulla retroazione

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale <math>{d_m}_{\text{sin}} (t)</math> posto sulla retroazione è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> alla pulsazione <math>\omega_d</math> del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>:

<math>{W_{ {d_m}_{\text{sin}}}} (s) = - \frac{G_a(s)}{1+ G_a(s)} = - {W_{ {d_r}_{\text{sin}}}} (s)</math>

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]

28 Le specifiche sull'attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello <math>G_a(s)</math>, in particolare sulla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> rispetto alla pulsazione <math>\omega_d</math> del disturbo:

  • 29 disturbo posto sull'uscita:
    <math>{y_p}_{\text{sin}} (t) \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow Y_{d,p} \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_d \right) \right| \geq {G_a}_{\text{min}} \Rightarrow \omega_d \ll \omega_c \Rightarrow \omega_B \gg \omega_d</math>
  • 30 disturbo posto sul riferimento o sulla retroazione:
    <math>{y_p}_{\text{sin}} (t) \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow Y_{d,p} \leq { {y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}} \Rightarrow \left| G_a \left( j \omega_d \right) \right| \leq {G_a}_{\text{max}} \Rightarrow \omega_d \gg \omega_c \Rightarrow \omega_B \ll \omega_d</math>
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