Controlli automatici/Reti di compensazione I

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5-6 Una volta determinata la parte statica della funzione <math>C(s)</math> del controllore, la parte dinamica <math>C'(s)</math> viene costruita in modo che la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> presenti la forma idonea al soddisfacimento delle specifiche:

<math>\begin{cases} \omega_c \simeq {\omega_c}_{\text{des}} \\ m_\varphi \geq {m_\varphi}_{\text{min}} \end{cases}</math>
  • vincoli sulla pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> vengono imposti da specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita <math>t_s</math> o <math>t_r</math>) o sulla banda passante;
  • vincoli sul margine di fase <math>m_\varphi</math> vengono imposti da specifiche sulla sovraelgonazione massima <math>\hat s</math> o sul picco di risonanza <math>M_r</math>.
Loop shaping (o sintesi per tentativi)
  1. 7 si valutano alla pulsazione di taglio desiderata <math>{w_c}_{\text{des}}</math> il modulo e la fase della funzione d'anello di partenza <math>G_{a1} (s)</math>:
    <math>G_{a1} (s) = \frac{K_c}{s^h} F(s)</math>
  2. 8 si calcola la variazione di fase <math>\Delta \varphi</math> necessaria per soddisfare il vincolo sul margine di fase <math>m_\varphi</math> alla pulsazione di taglio desiderata <math>{w_c}_{\text{des}}</math> (solitamente è un anticipo di fase);
  3. si calcola la variazione di modulo <math>\Delta m</math> necessaria per soddisfare il vincolo sulla pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> alla pulsazione di taglio desiderata <math>{w_c}_{\text{des}}</math>:
    <math>{\Delta m}_{\text{dB}} = - {\left| G_{a1} \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) \right|}_{\text{dB}}</math>
  4. 9 la parte dinamica <math>C'(s)</math> si costruisce come prodotto di reti di compensazione elementari;
  5. 11 si procede a una completa verifica delle specifiche dinamiche[1] sulla funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W(s)</math>, poiché il soddisfacimento dei vincoli individuati sulla funzione d'anello <math>G_a(s)</math> non garantisce l'automatico soddisfacimento delle specifiche dinamiche sul sistema in catena chiusa.
10 Reti di compensazione
  • reti anticipatrici (o derivative): anticipo di fase, aumento di modulo;
  • reti attenuatrici (o integrative): perdita di fase, attenuazione di modulo;
  • reti integro-derivative (o lead-lag): formate dall'unione di reti dei due tipi precedenti.

Reti anticipatrici[modifica | modifica sorgente]

15 Diagrammi di Bode normalizzati di reti anticipatrici al variare di <math>m_d</math>

13 Una rete anticipatrice (o derivativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

<math>R_d(s) = \frac{1+ \tau_d s}{1+ \frac{\tau_d}{m_d} s} , \quad \begin{cases} \tau_d > 0 \\ m_d > 1 \end{cases}</math>

La rete presenta:

  • uno zero in <math>- \tfrac{1}{\tau_d}</math>;
  • un polo in <math>- \tfrac{m_d}{\tau_d}</math>.

14 Essendo <math>m_d > 1</math>, il polo si trova ad una pulsazione <math>m_d</math> volte maggiore di quella dello zero → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti anticipatrici, al variare di <math>m_d</math>, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata <math>\omega \tau_d</math>:

  • lo zero si trova alla pulsazione normalizzata <math>1 = 0 \text{ dB}</math>;
  • il polo si trova alla pulsazione normalizzata <math>m_d</math>.

L'inserimento di una rete anticipatrice nella funzione <math>C'(s)</math> introduce nella funzione d'anello <math>G_a(s)</math>:

  • 19 un aumento di modulo crescente al crescere di <math>m_d</math>, che tende al valore massimo <math>{\left. m_d \right|}_{\text{dB}}</math> per <math>\omega \to + \infty</math>;
  • 16 un anticipo (o recupero, cioè aumento) di fase crescente al crescere di <math>m_d</math>, il cui massimo <math>\varphi_{\text{max}}</math> si trova all'ascissa normalizzata <math>\sqrt{m_d}</math>.

20 Le reti anticipatrici sono utilizzate quando alla pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math> è necessario un recupero di fase <math>\Delta \varphi</math> per ottenere il margine di fase <math>m_\varphi</math> richiesto.

Sfruttamento del massimo recupero di fase[modifica | modifica sorgente]

21 Solitamente il valore di <math>m_d</math> è progettato sfruttando il massimo recupero di fase <math>\varphi_{\text{max}}</math> consentito dalla rete:

<math>\varphi_{\text{max}} = \rm{arcsin}{\frac{m_d -1}{m_d +1}} \Rightarrow m_d = \frac{1+ \sin{\varphi_{\text{max}}}}{1- \sin{\varphi_{\text{max}}}}</math>

La costante di tempo <math>\tau_d</math> si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che il punto ad ascissa normalizzata <math>x_d</math>, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math>, sia coincidente al punto di massimo recupero di fase della rete:

<math>x_d = {\omega_c}_{\text{des}} \tau_d = \sqrt{m_d} : \; \angle R_i \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) = \Delta \varphi = \varphi_{\text{max}}</math>

22 Se la variazione di fase <math>\Delta \varphi</math> desiderata è elevata (<math>> {60}^\circ</math>), si introducono più reti anticipatrici <math>{R_d}_i (s)</math> scelte in modo che:

<math>\Delta \varphi = \sideset{}{_i}\sum{ {\varphi_{\text{max}}}_i}</math>

23 Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math> l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete, pari a:

<math>{\left| R_d \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) \right|}_{\text{dB}} , \quad {\omega_c}_{\text{des}} = \frac{\sqrt{m_d}}{\tau_d}</math>

24 risulta inferiore alla variazione di modulo desiderata <math>\Delta m</math>, è sufficiente aumentare opportunamente il guadagno stazionario <math>K_c</math> in modo che la pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> della funzione d'anello <math>G_a(s)</math> sia pari a quella desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math>.

Contenimento dell'aumento di modulo[modifica | modifica sorgente]

45 Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math> l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete risulta superiore alla variazione di modulo desiderata <math>\Delta m</math>, è necessario sovradimensionare il valore di <math>m_d</math> della rete in modo che, in un punto ad ascissa normalizzata <math>x_d</math> inferiore a quella del punto di massimo recupero di fase, sia la variazione di modulo sia la variazione di fase introdotte siano pari a quelle desiderate <math>\Delta m</math> e <math>\Delta \varphi</math>:

<math>x_d = {\omega_c}_{\text{des}} \tau_d < \sqrt{m_d} : \; \begin{cases} \angle R_i \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) = \Delta \varphi < \varphi_{\text{max}} \\ {\left| R_i \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) \right|}_{\text{dB}} = {\left. \Delta m \right|}_{\text{dB}} \end{cases}</math>

47 Il principale svantaggio associato all'utilizzo di reti anticipatrici con <math>m_d</math> elevato consiste in un aumento dell'attività sul comando.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. 38 Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale.
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