Controlli automatici/Criterio di Nyquist

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20-21 Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math>:

<math>W_y (s) = \frac{G_a (s)}{1 \mp G_a (s)}</math>

non ha poli sull'asse immaginario (cioè a parte reale nulla) ↔ il diagramma di Nyquist della funzione d'anello <math>G_a (s)</math> non passa per il punto <math>\left( \pm 1,0 \right)</math>, detto punto critico di Nyquist.

10-11 Criterio di Nyquist

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> sono asintoticamente stabili (cioè hanno parte reale <math>< 0</math>):

<math>n_{i,c} = n_{i,a} + N = 0</math>

dove:

  • <math>n_{i,c} \geq 0</math> è il numero di poli instabili (cioè a parte reale <math>> 0</math>) della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math>;
  • <math>n_{i,a} \geq 0</math> è il numero di poli instabili (cioè a parte reale <math>> 0</math>) della funzione d'anello <math>G_a (s)</math>;
  • <math>N</math> è il numero di giri compiuti in senso orario dal diagramma di Nyquist della funzione d'anello <math>G_a \left( j \omega \right)</math> attorno al punto <math>\left( \pm 1,0 \right)</math> al variare di <math>\omega</math> (i giri anti-orari sono da conteggiarsi come negativi).

23 Se la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> del sistema è definita a meno di un fattore di guadagno variabile <math>K_C</math>:

<math>G_a (s) = K_C {G_a}_f (s)</math>

dove:

  • <math>K_C \in \R</math> è il guadagno stazionario del controllore (coincide con il controllore stesso se il controllore è puramente statico);
  • <math>{G_a}_f</math> include la eventuale parte dinamica del controllore (completamente definita) e la funzione di trasferimento del sistema da controllare dato;

25-26 allora è sufficiente applicare il criterio di Nyquist a <math>{G_a}_f (s)</math> considerando come critico il punto <math>\left( \pm \tfrac{1}{K_C} , 0 \right)</math> per individuare i valori di <math>K_C</math> per cui il sistema è asintoticamente stabile.

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