Controlli automatici/Criterio di Nyquist

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20-21 Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s):

W_y (s) = \frac{G_a (s)}{1 \mp G_a (s)}

non ha poli sull'asse immaginario (cioè a parte reale nulla) ↔ il diagramma di Nyquist della funzione d'anello G_a (s) non passa per il punto \left( \pm 1,0 \right), detto punto critico di Nyquist.

10-11 Criterio di Nyquist

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) sono asintoticamente stabili (cioè hanno parte reale < 0):

n_{i,c} = n_{i,a} + N = 0

dove:

  • n_{i,c} \geq 0 è il numero di poli instabili (cioè a parte reale > 0) della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s);
  • n_{i,a} \geq 0 è il numero di poli instabili (cioè a parte reale > 0) della funzione d'anello G_a (s);
  • N è il numero di giri compiuti in senso orario dal diagramma di Nyquist della funzione d'anello G_a \left( j \omega \right) attorno al punto \left( \pm 1,0 \right) al variare di \omega (i giri anti-orari sono da conteggiarsi come negativi).

23 Se la funzione d'anello G_a (s) del sistema è definita a meno di un fattore di guadagno variabile K_C:

G_a (s) = K_C {G_a}_f (s)

dove:

  • K_C \in \R è il guadagno stazionario del controllore (coincide con il controllore stesso se il controllore è puramente statico);
  • {G_a}_f include la eventuale parte dinamica del controllore (completamente definita) e la funzione di trasferimento del sistema da controllare dato;

25-26 allora è sufficiente applicare il criterio di Nyquist a {G_a}_f (s) considerando come critico il punto \left( \pm \tfrac{1}{K_C} , 0 \right) per individuare i valori di K_C per cui il sistema è asintoticamente stabile.

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