Controlli automatici/Classificazione di sistemi dinamici

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Nozione di sistema[modifica]

Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso e uscita

6 Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso , cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

7 Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso e l'uscita .

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi
  • previsione: noti , → trovare ;
  • controllo: noti , → trovare ;
  • identificazione: noti , → trovare .

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici[modifica]

Sistemi statici[modifica]

9 Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita all'istante dipende solo dal valore dell'ingresso allo stesso istante :

Esempio: resistore ideale

Sistemi dinamici[modifica]

10 Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita all'istante dipende da tutti i valori dell'ingresso fino all'istante :

Esempio: condensatore ideale
Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato

11 Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante , si può introdurre lo stato che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

12 Esempio: condensatore ideale avente

Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

  • equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato ;
  • equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita .

Definizione di sistema dinamico[modifica]

Definizione assiomatica[modifica]

14 Il sistema dinamico :

è un ente definito dai seguenti insiemi:

  • : insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
  • : insieme dei valori assunti dall'ingresso ;
  • : insieme dei tipi di funzioni d'ingresso ;
  • : insieme dei valori assunti dallo stato ;
  • : insieme dei valori assunti dall'uscita ;
  • : insieme dei tipi di funzioni d'uscita ;

per cui sono definite le funzioni e che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato [modifica]

15 La funzione di transizione dello stato descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale dato lo stato iniziale (in un altro istante di tempo):

Funzione di uscita [modifica]

16 La funzione di uscita è una funzione istantanea dello stato e dell'eventuale ingresso che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita partendo dallo stato corrente (nello stesso istante di tempo):

Se l'uscita non dipende istantaneamente dall'ingresso , il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici[modifica]

Insiemi , , , [modifica]

18 Insieme ordinato dei tempi

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

  • ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile );
  • ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile ).

Vi sono due tipi di equazione di stato :

  • sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di equazioni differenziali:
  • sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di equazioni alle differenze finite:
19 Insiemi dei valori di ingresso e di uscita
Esempi
"quantizzato"
SISO
MIMO

In un sistema dinamico gli ingressi e le uscite possono essere discreti o continui:

  • , ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
  • , : si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
    • ⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso e una sola uscita );
    • e/o ⇒ sistema multivariabile o MIMO.
20 Insieme dei valori dello stato
  • ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
  • con finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
  • con infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni e [modifica]

21 Proprietà di linearità
Esempi
lineare
non lineare

Il sistema dinamico è lineare se:

  • , , , , sono spazi vettoriali;
  • la funzione di transizione dello stato è lineare in e in , cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzata del sistema:
  • la funzione di uscita è lineare in e in , cioè è scomponibile nella combinazione lineare di e con coefficienti matriciali e :
22 Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)
Esempi
tempo-variante
tempo-invariante

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

  • la funzione di transizione dello stato non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:
    [1]
  • la funzione di uscita non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita[modifica]

Equazione di stato Equazione di uscita
24 tempo continuo equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
25 + lineare equazioni differenziali lineari in e :
  • matrice di stato
  • matrice degli ingressi
  • matrice delle uscite
  • matrice del legame diretto ingresso-uscita
26 + tempo-invariante (LTI) equazioni differenziali lineari in e a coefficienti costanti:
equazioni lineari in e a coefficienti costanti:
27 tempo discreto equazioni alle differenze finite:
28 + lineare equazioni alle differenze finite lineari in e :
29 + tempo-invariante (LTI) equazioni alle differenze finite lineari in e a coefficienti costanti:
equazioni lineari in e a coefficienti costanti:

Note[modifica]

  1. Essendo .
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