Controlli automatici/Classificazione di sistemi dinamici

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Nozione di sistema[modifica | modifica sorgente]

Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> e uscita <math>y \left( \bullet \right)</math>

6 Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita <math>y</math> è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso <math>u</math>, cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

7 Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme <math>S</math> di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso <math>u</math> e l'uscita <math>y</math>.

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi
  • previsione: noti <math>S</math>, <math>u \left( \bullet \right)</math> → trovare <math>y \left( \bullet \right)</math>;
  • controllo: noti <math>S</math>, <math>y \left( \bullet \right)</math> → trovare <math>u \left( \bullet \right)</math>;
  • identificazione: noti <math>y \left( \bullet \right)</math>, <math>u \left( \bullet \right)</math> → trovare <math>S</math>.

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici[modifica | modifica sorgente]

Sistemi statici[modifica | modifica sorgente]

9 Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita <math>y</math> all'istante <math>t</math> dipende solo dal valore dell'ingresso <math>u</math> allo stesso istante <math>t</math>:

<math>y \left( t \right) = g \left( u \left( t \right) \right) \quad \forall t</math>
Esempio: resistore ideale
<math>u \left( t \right) = i_R \left( t \right) \Rightarrow y \left( t \right) = v_R \left( t \right) = R i_R \left( t \right) \quad \forall t</math>

Sistemi dinamici[modifica | modifica sorgente]

10 Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita <math>y</math> all'istante <math>t</math> dipende da tutti i valori dell'ingresso <math>u</math> fino all'istante <math>t</math>:

<math>y \left( t \right) = g \left( u \left( \left[ - \infty , t \right] \right) \right) \quad \forall t</math>
Esempio: condensatore ideale
<math>u \left( t \right) = i_C \left( t \right) = C {\dot v}_C \left( t \right) \Rightarrow y \left( t \right) = v_C \left( t \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t u \left( \sigma \right) d \sigma \quad \forall t</math>
Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato <math>x \left( \bullet \right)</math>

11 Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante <math>\tau</math>, si può introdurre lo stato <math>x \left( \tau \right)</math> che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

<math>y \left( t \right) = g \left( x \left( \tau \right) , u \left( \left[ \tau , t \right] \right) \right) \quad \forall t \geq \tau</math>
12 Esempio: condensatore ideale avente <math>v_C \left( - \infty \right) = 0</math>
<math>\begin{cases} u \left( t \right) = i_C \left( t \right) = C \frac{d v_C \left( t \right)}{dt} \\ x \left( \tau \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^\tau i_C \left( \sigma \right) d \sigma = v_C \left( \tau \right) \end{cases} \Rightarrow y \left( t \right) = v_C \left( t \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = \underbrace{\frac{1}{C} \int_{- \infty}^\tau i_C \left( \sigma \right) d \sigma}_{x \left( \tau \right)} + \frac{1}{C} \int_\tau^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = x \left( \tau \right) + \frac{1}{C} \int_\tau^t u \left( \sigma \right) d \sigma</math>

Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

  • equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato <math>x</math>;
  • equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita <math>y</math>.

Definizione di sistema dinamico[modifica | modifica sorgente]

Definizione assiomatica[modifica | modifica sorgente]

14 Il sistema dinamico <math>S</math>:

<math>S \left( T, U, \Omega, X , Y, \Gamma, \varphi, \eta \right)</math>

è un ente definito dai seguenti insiemi:

  • <math>T</math>: insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
  • <math>U</math>: insieme dei valori assunti dall'ingresso <math>u</math>;
  • <math>\Omega</math>: insieme dei tipi di funzioni d'ingresso <math>\left\{ u \left( \bullet \right) : T \longrightarrow U \right\}</math>;
  • <math>X</math>: insieme dei valori assunti dallo stato <math>x</math>;
  • <math>Y</math>: insieme dei valori assunti dall'uscita <math>y</math>;
  • <math>\Gamma</math>: insieme dei tipi di funzioni d'uscita <math>\left\{ y \left( \bullet \right) : T \longrightarrow Y \right\}</math>;

per cui sono definite le funzioni <math>\varphi</math> e <math>\eta</math> che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato <math>\varphi</math>[modifica | modifica sorgente]

15 La funzione di transizione dello stato <math>\varphi</math> descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale <math>x \left( t \right)</math> dato lo stato iniziale <math>x \left( \tau \right)</math> (in un altro istante di tempo):

<math>x \left( t \right) = \varphi \left( t , \tau , x \left( \tau \right) , u \left( \bullet \right) \right)</math>

Funzione di uscita <math>\eta</math>[modifica | modifica sorgente]

16 La funzione di uscita <math>\eta</math> è una funzione istantanea dello stato <math>x</math> e dell'eventuale ingresso <math>u</math> che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita <math>y \left( t \right)</math> partendo dallo stato corrente <math>x \left( t \right)</math> (nello stesso istante di tempo):

<math>y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>

Se l'uscita <math>y</math> non dipende istantaneamente dall'ingresso <math>u</math>, il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

<math>y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) \right)</math>

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici[modifica | modifica sorgente]

Insiemi <math>T</math>, <math>U</math>, <math>Y</math>, <math>X</math>[modifica | modifica sorgente]

18 Insieme ordinato dei tempi <math>T</math>

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

  • <math>T \subseteq \R</math> ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile <math>t</math>);
  • <math>T \subseteq \Z</math> ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile <math>k</math>).

Vi sono due tipi di equazione di stato <math>\dot x</math>:

  • sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di <math>n</math> equazioni differenziali:
    <math>\dot x \left( t \right) = f \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
  • sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di <math>n</math> equazioni alle differenze finite:
    <math>x \left( k + 1 \right) = f \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)</math>
19 Insiemi dei valori di ingresso <math>U</math> e di uscita <math>Y</math>
Esempi
"quantizzato" <math>y \left( k \right) = x \left( k \right) + u \left( k \right)</math>
SISO <math>y \left( t \right) = x \left( t \right) + u \left( t \right)</math>
MIMO <math>y \left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right) + u_1 \left( t \right) + u_2 \left( t \right)</math>

In un sistema dinamico gli ingressi <math>u</math> e le uscite <math>y</math> possono essere discreti o continui:

  • <math>U \subseteq \Z</math>, <math>Y \subseteq \Z</math> ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
  • <math>U \subseteq \R^p</math>, <math>Y \subseteq \R^q</math>: si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
    • <math>p=q=1</math> ⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso <math>u</math> e una sola uscita <math>y</math>);
    • <math>p>1</math> e/o <math>q>1</math> ⇒ sistema multivariabile o MIMO.
20 Insieme dei valori dello stato <math>X</math>
  • <math>X \subseteq \Z</math> ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
  • <math>X \subseteq \R^n</math> con <math>n</math> finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
  • <math>X \subseteq \R^n</math> con <math>n</math> infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni <math>\varphi</math> e <math>\eta</math>[modifica | modifica sorgente]

21 Proprietà di linearità
Esempi
lineare <math>y \left( t \right) = x \left( t \right)</math>
non lineare <math>y \left( t \right) = x^2 \left( t \right)</math>

Il sistema dinamico è lineare se:

  • <math>U</math>, <math>\Omega</math>, <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>\Gamma</math> sono spazi vettoriali;
  • la funzione di transizione dello stato <math>\varphi</math> è lineare in <math>x</math> e in <math>u</math>, cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera <math>x_\ell \left( t \right)</math> e dell'evoluzione forzata <math>x_f \left( t \right)</math> del sistema:
    <math>x \left( t \right) = \varphi \left( t , \tau , x \left( \tau \right) , u \left( \bullet \right) \right) = \varphi_\ell \left( t , \tau \right) x \left( \tau \right) + \varphi_f \left( t , \tau \right) u \left( \bullet \right) = x_\ell \left( t \right) + x_f \left( t \right)</math>
  • la funzione di uscita <math>\eta</math> è lineare in <math>x</math> e in <math>u</math>, cioè è scomponibile nella combinazione lineare di <math>x \left( t \right)</math> e <math>u \left( t \right)</math> con coefficienti matriciali <math>C \left( t \right)</math> e <math>D \left( t \right)</math>:
    <math>y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right) = C \left( t \right) x \left( t \right) + D \left( t \right) u \left( t \right)</math>
22 Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)
Esempi
tempo-variante <math>y \left( t \right) = t x \left( t \right)</math>
tempo-invariante <math>y \left( t \right) = x \left( t \right)</math>

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

  • la funzione di transizione dello stato <math>\varphi</math> non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo <math>\Delta \tau</math> è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:
    <math>\varphi \left( t , \tau , x^* , u \left( \bullet \right) \right) = \varphi \left( t + \Delta \tau , \tau + \Delta \tau, x^*, u^{\Delta \tau} \left( \bullet \right) \right)</math>[1]
  • la funzione di uscita <math>\eta</math> non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

Equazione di stato Equazione di uscita
24 tempo continuo <math>n</math> equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
<math>\dot x \left( t \right) = f \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
<math>y \left( t \right) = g \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
25 + lineare <math>n</math> equazioni differenziali lineari in <math>x \left( t \right)</math> e <math>u \left( t \right)</math>:
<math>\dot x \left( t \right) = A \left( t \right) x \left( t \right) + B \left( t \right) u \left( t \right)</math>
  • <math>A \left( t \right) \in \R^{n \times n}</math> matrice di stato
  • <math>B \left( t \right) \in \R^{n \times p}</math> matrice degli ingressi
<math>y \left( t \right) = C \left( t \right) x \left( t \right) + D \left( t \right) u \left( t \right)</math>
  • <math>C \left( t \right) \in \R^{q \times n}</math> matrice delle uscite
  • <math>D \left( t \right) \in \R^{q \times p}</math> matrice del legame diretto ingresso-uscita
26 + tempo-invariante (LTI) <math>n</math> equazioni differenziali lineari in <math>x \left( t \right)</math> e <math>u \left( t \right)</math> a coefficienti costanti:
<math>\dot x \left( t \right) = A x \left( t \right) + B u \left( t \right)</math>
<math>q</math> equazioni lineari in <math>x \left( t \right)</math> e <math>u \left( t \right)</math> a coefficienti costanti:
<math>y \left( t \right) = C x \left( t \right) + D u \left( t \right)</math>
27 tempo discreto <math>n</math> equazioni alle differenze finite:
<math>x \left( k + 1 \right) = f \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)</math>
<math>y \left( k \right) = g \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)</math>
28 + lineare <math>n</math> equazioni alle differenze finite lineari in <math>x \left( k \right)</math> e <math>u \left( k \right)</math>:
<math>x \left( k + 1 \right) = A \left( k \right) x \left( k \right) + B \left( k \right) u \left( k \right)</math>
<math>y \left( k \right) = C \left( k \right) x \left( k \right) + D \left( k \right) u \left( k \right)</math>
29 + tempo-invariante (LTI) <math>n</math> equazioni alle differenze finite lineari in <math>x \left( k \right)</math> e <math>u \left( k \right)</math> a coefficienti costanti:
<math>x \left( k + 1 \right) = A x \left( k \right) + B u \left( k \right)</math>
<math>q</math> equazioni lineari in <math>x \left( k \right)</math> e <math>u \left( k \right)</math> a coefficienti costanti:
<math>y \left( k \right) = C x \left( k \right) + D u \left( k \right)</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Essendo <math>u^{\Delta \tau} \left( \sigma \right) = u \left( \sigma - \Delta \tau \right) , \; \forall \sigma \in \left[ \tau + \Delta \tau , t + \Delta \tau \right] , \; \Delta \tau \geq 0</math>.
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