Controlli automatici/Classificazione di sistemi dinamici

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Nozione di sistema[modifica]

Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso u \left( \bullet \right) e uscita y \left( \bullet \right)

6 Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita y è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso u, cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

7 Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme S di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso u e l'uscita y.

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi
  • previsione: noti S, u \left( \bullet \right) → trovare y \left( \bullet \right);
  • controllo: noti S, y \left( \bullet \right) → trovare u \left( \bullet \right);
  • identificazione: noti y \left( \bullet \right), u \left( \bullet \right) → trovare S.

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici[modifica]

Sistemi statici[modifica]

9 Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita y all'istante t dipende solo dal valore dell'ingresso u allo stesso istante t:

y \left( t \right) = g \left( u \left( t \right) \right) \quad \forall t
Esempio: resistore ideale
u \left( t \right) = i_R \left( t \right) \Rightarrow y \left( t \right) = v_R \left( t \right) = R i_R \left( t \right) \quad \forall t

Sistemi dinamici[modifica]

10 Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita y all'istante t dipende da tutti i valori dell'ingresso u fino all'istante t:

y  \left( t \right) = g \left( u \left( \left[ - \infty , t \right] \right) \right) \quad \forall t
Esempio: condensatore ideale
u \left( t \right) = i_C \left( t \right) = C {\dot v}_C \left(  t \right) \Rightarrow y \left( t \right) = v_C \left(  t \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t u \left( \sigma \right) d \sigma \quad \forall t
Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato x \left( \bullet \right)

11 Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante \tau, si può introdurre lo stato x \left( \tau \right) che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

y \left( t \right) = g \left( x \left( \tau \right) , u \left( \left[ \tau , t \right] \right) \right) \quad \forall t \geq \tau
12 Esempio: condensatore ideale avente v_C \left( - \infty \right) = 0
\begin{cases} u \left( t \right) = i_C \left( t \right) = C \frac{d v_C \left( t \right)}{dt} \\ x \left( \tau \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^\tau i_C \left( \sigma \right) d \sigma  = v_C \left( \tau \right) \end{cases} \Rightarrow y \left( t \right) = v_C \left( t \right) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = \underbrace{\frac{1}{C} \int_{- \infty}^\tau i_C \left( \sigma \right) d \sigma}_{x \left( \tau \right)} + \frac{1}{C} \int_\tau^t i_C \left( \sigma \right) d \sigma = x \left( \tau \right)  + \frac{1}{C} \int_\tau^t u \left( \sigma \right) d \sigma

Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

  • equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato x;
  • equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita y.

Definizione di sistema dinamico[modifica]

Definizione assiomatica[modifica]

14 Il sistema dinamico S:

S \left( T, U, \Omega, X , Y, \Gamma, \varphi, \eta \right)

è un ente definito dai seguenti insiemi:

  • T: insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
  • U: insieme dei valori assunti dall'ingresso u;
  • \Omega: insieme dei tipi di funzioni d'ingresso \left\{ u \left( \bullet \right) : T \longrightarrow U \right\};
  • X: insieme dei valori assunti dallo stato x;
  • Y: insieme dei valori assunti dall'uscita y;
  • \Gamma: insieme dei tipi di funzioni d'uscita \left\{ y \left( \bullet \right) : T \longrightarrow Y \right\};

per cui sono definite le funzioni \varphi e \eta che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato \varphi[modifica]

15 La funzione di transizione dello stato \varphi descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale x \left( t \right) dato lo stato iniziale x \left( \tau \right) (in un altro istante di tempo):

x \left( t \right) = \varphi \left( t , \tau , x \left( \tau \right) , u \left( \bullet \right) \right)

Funzione di uscita \eta[modifica]

16 La funzione di uscita \eta è una funzione istantanea dello stato x e dell'eventuale ingresso u che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita y \left( t \right) partendo dallo stato corrente x \left( t \right) (nello stesso istante di tempo):

y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)

Se l'uscita y non dipende istantaneamente dall'ingresso u, il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) \right)

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici[modifica]

Insiemi T, U, Y, X[modifica]

18 Insieme ordinato dei tempi T

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

  • T \subseteq \R ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile t);
  • T \subseteq \Z ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile k).

Vi sono due tipi di equazione di stato \dot x:

  • sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di n equazioni differenziali:
    \dot x \left( t \right) = f \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)
  • sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di n equazioni alle differenze finite:
    x \left( k + 1 \right) = f \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)
19 Insiemi dei valori di ingresso U e di uscita Y
Esempi
"quantizzato" y \left( k \right) = x \left( k \right) + u \left( k \right)
SISO y \left( t \right) = x \left( t \right) + u \left( t \right)
MIMO y \left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right) + u_1 \left( t \right) + u_2 \left( t \right)

In un sistema dinamico gli ingressi u e le uscite y possono essere discreti o continui:

  • U \subseteq \Z, Y \subseteq \Z ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
  • U \subseteq \R^p, Y \subseteq \R^q: si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
    • p=q=1 ⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso u e una sola uscita y);
    • p>1 e/o q>1 ⇒ sistema multivariabile o MIMO.
20 Insieme dei valori dello stato X
  • X \subseteq \Z ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
  • X \subseteq \R^n con n finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
  • X \subseteq \R^n con n infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni \varphi e \eta[modifica]

21 Proprietà di linearità
Esempi
lineare y \left( t \right) = x \left( t \right)
non lineare y \left( t \right) = x^2 \left( t \right)

Il sistema dinamico è lineare se:

  • U, \Omega, X, Y, \Gamma sono spazi vettoriali;
  • la funzione di transizione dello stato \varphi è lineare in x e in u, cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera x_\ell \left( t \right) e dell'evoluzione forzata x_f \left( t \right) del sistema:
    x \left( t \right) = \varphi \left( t , \tau , x \left( \tau \right) , u \left( \bullet \right) \right) = \varphi_\ell \left( t , \tau \right) x \left( \tau \right) + \varphi_f \left( t , \tau \right) u \left( \bullet \right) = x_\ell \left( t \right) + x_f \left( t \right)
  • la funzione di uscita \eta è lineare in x e in u, cioè è scomponibile nella combinazione lineare di x \left( t \right) e u \left( t \right) con coefficienti matriciali C \left( t \right) e D \left( t \right):
    y \left( t \right) = \eta \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right) = C \left( t \right) x \left( t \right) + D \left( t \right) u \left( t \right)
22 Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)
Esempi
tempo-variante y \left( t \right) = t x \left( t \right)
tempo-invariante y \left( t \right) = x \left( t \right)

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

  • la funzione di transizione dello stato \varphi non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo \Delta \tau è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:
    \varphi \left( t , \tau , x^* , u \left( \bullet \right) \right) = \varphi \left( t + \Delta \tau , \tau + \Delta \tau, x^*, u^{\Delta \tau} \left( \bullet \right) \right)[1]
  • la funzione di uscita \eta non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita[modifica]

Equazione di stato Equazione di uscita
24 tempo continuo n equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
\dot x \left( t \right) = f \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)
y \left( t \right) = g \left( t , x \left( t \right) ,  u \left( t \right) \right)
25 + lineare n equazioni differenziali lineari in x \left( t \right) e u \left( t \right):
\dot x \left( t \right) = A \left( t \right) x \left( t \right) + B \left( t \right) u \left( t \right)
  • A \left( t \right) \in \R^{n \times n} matrice di stato
  • B \left( t \right) \in \R^{n \times p} matrice degli ingressi
y \left( t \right) = C \left( t \right) x \left( t \right) + D \left( t \right) u \left( t \right)
  • C \left( t \right) \in \R^{q \times n} matrice delle uscite
  • D \left( t \right) \in \R^{q \times p} matrice del legame diretto ingresso-uscita
26 + tempo-invariante (LTI) n equazioni differenziali lineari in x \left( t \right) e u \left( t \right) a coefficienti costanti:
\dot x \left( t \right) = A x \left( t \right) + B u \left( t \right)
q equazioni lineari in x \left( t \right) e u \left( t \right) a coefficienti costanti:
y \left( t  \right) = C x \left( t \right)  + D u \left( t \right)
27 tempo discreto n equazioni alle differenze finite:
x \left( k + 1 \right) = f \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)
y \left( k \right) = g \left( k , x \left( k \right) , u \left( k \right) \right)
28 + lineare n equazioni alle differenze finite lineari in x \left( k \right) e u \left( k \right):
x \left( k + 1 \right) = A \left( k \right) x \left( k \right) + B \left( k \right) u \left( k \right)
y \left( k \right) = C \left( k \right) x \left( k \right) + D \left( k \right) u \left( k \right)
29 + tempo-invariante (LTI) n equazioni alle differenze finite lineari in x \left( k \right) e u \left( k \right) a coefficienti costanti:
x \left( k + 1 \right) = A x \left( k \right) + B u \left( k \right)
q equazioni lineari in x \left( k \right) e u \left( k \right) a coefficienti costanti:
y \left( k \right) = C x \left( k \right) + D u \left( k \right)

Note[modifica]

  1. Essendo u^{\Delta \tau} \left( \sigma \right) = u \left( \sigma - \Delta \tau \right) , \; \forall \sigma \in \left[ \tau + \Delta \tau , t  + \Delta \tau \right] , \; \Delta \tau \geq 0.
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