Controlli automatici/Analisi delle specifiche

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6 Data F(s), la funzione di trasferimento C(s) del controllore da progettare può essere espressa:[1]

C(s) = \frac{K_c}{s^h} C' (s)

dove:

  • K_c è il guadagno stazionario del controllore;
  • h è il numero di poli nell'origine;
  • C'(s) rappresenta la parte dinamica del controllore:
    • è di tipo zero (C(s) deve avere h poli nell'origine);
    • ha guadagno stazionario unitario (il guadagno stazionario di C(s) dev'essere pari a K_c).
Sequenza di progetto del controllore
  1. si soddisfano le specifiche statiche;
  2. si determina il segno del guadagno stazionario K_c;
  3. si soddisfano le specifiche dinamiche.

Implicazioni delle specifiche statiche[modifica]

7 Specifiche statiche
  • errore di inseguimento in regime permanente a segnali di riferimento polinomiali;
  • reiezione o attenuazione di disturbi polinomiali in regime permanente.

Le specifiche statiche impongono vincoli su:

  • numero h di poli nell'origine;
  • valore minimo del modulo del guadagno stazionario K_c.

45 L'inserimento di poli nell'origine nell'espressione di C(s) causa una perdita di {90}^\circ riducendo il margine di fase m_\varphi → non vanno inseriti poli non necessari.

Stabilizzabilità del sistema[modifica]

48 Il segno del guadagno stazionario K_c viene determinato tramite il diagramma di Nyquist della funzione \tfrac{F(s)}{s^h}: si sceglie il semi-asse reale dove in seguito all'inserimento di C'(s) si avranno possibilità di avere l'asintotica stabilità in catena chiusa del sistema.

Implicazioni delle specifiche dinamiche[modifica]

9-62 Specifiche dinamiche
  • caratteristiche in transitorio della risposta nel tempo a segnali di riferimento canonici, quali il gradino;
  • risposta in frequenza del sistema in catena chiusa;
  • inseguimento di segnali sinusoidali;
  • attenuazione di disturbi sinusoidali.

Le specifiche nel tempo implicano vincoli sulla funzione di trasferimento in catena chiusa W \left( j \omega \right), che a loro volta implicano vincoli sulla funzione d'anello G_a \left( j \omega \right) (in particolare sul margine di fase m_\varphi e sulla pulsazione di cross-over \omega_c).

Specifiche sulla risposta al gradino[modifica]

Le specifiche sulla risposta al gradino unitario impongono vincoli sulla risposta in frequenza del sistema in catena chiusa:[2]

  • 63 una specifica sulla sovraelongazione massima \hat s impone un vincolo sul picco di risonanza M_r:
    \hat s \leq {\hat s}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} M_r \leq \frac{\left( 1 + {\hat s}_{\text{max}} \right)}{0,9} \\ {M_r}_{\text{dB}} \leq 20 \log_{10}{\frac{\left( 1 + {\hat s}_{\text{max}} \right)}{0,9}} \end{cases}
  • 64 una specifica sul tempo di salita t_s o t_r impone un vincolo sulla banda passante \omega_B (un'eccessiva ampiezza di banda passante diminuisce la reiezione ai disturbi):
    t_s \leq {t_s}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} \omega_B \geq \frac{3}{ {t_s}_{\text{max}}} \end{cases}
    t_r \leq {t_r}_{\text{max}} \Rightarrow \begin{cases} \omega_B \geq \frac{2}{ {t_r}_{\text{max}}} \end{cases}

Specifiche sulla risposta in frequenza[modifica]

Le specifiche sulla risposta in frequenza (formulate direttamente sulla funzione di trasferimento in catena chiusa W \left( j \omega \right) o ricavate da specifiche sulla risposta nel tempo) impongono vincoli sulla funzione d'anello G_a (s):

  • 66 una specifica sul picco di risonanza M_r impone un vincolo sul margine di fase m_\varphi:[3]
    M_r \leq {M_r}_{\text{max}} \Rightarrow m_\varphi \leq {m_\varphi}_{\text{min}} , \quad {m_\varphi}_{\text{min}} \cong \frac{ {60}^\circ}{ {M_r}_{\text{max}}} \cong {60}^\circ - 5 {\left. {M_r}_{\text{max}} \right|}_{\text{dB}}
  • 67 una specifica sulla banda passante \omega_B impone un vincolo sulla pulsazione di cross-over \omega_c:[4]
    \omega_B \lesseqgtr {\omega_B}_{\text{lim}} \Rightarrow \omega_c \lessgtr 0,63 {\omega_B}_{\text{lim}}

Specifiche sull'errore di inseguimento in regime permanente[modifica]

68-69 Le specifiche sull'errore massimo di inseguimento in regime permanente E di segnali sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello G_a (s), in particolare sulla pulsazione di cross-over \omega_c rispetto alla pulsazione del segnale \omega_0:[5]

E \leq E_{\text{max}} \Rightarrow G_a \left( j \omega_0 \right) \gg 1 \Rightarrow \omega_c \gg \omega_0

Specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali[modifica]

71 Le specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello G_a(s), in particolare sul valore della pulsazione di cross-over \omega_c rispetto alla pulsazione del disturbo \omega_d, che variano a seconda del punto di ingresso del disturbo.[5]

Note[modifica]

  1. 58-59-60 In questo corso non verranno trattati i casi in cui è necessaria una funzione C(s) non internamente stabile.
  2. 65 In questo corso non saranno considerate esplicite specifiche sul tempo di assestamento t_a.
  3. Il margine di fase minimo {m_\varphi}_{\text{min}} è ricavabile anche dalla carta di Nichols.
  4. Il margine di fase m_\varphi viene supposto approssimativamente tra {30}^\circ e {60}^\circ. Se, una volta ottenuta la pulsazione di cross-over \omega_c a partire dalla banda passante \omega_B desiderata, la banda passante \omega_B non risulta più quella desiderata sarà necessario modificare per tentativi il coefficiente 0,63.
  5. 5,0 5,1 70-73 Questa specifica deve essere compatibile con le precedenti affinché il controllore sia progettabile.
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