Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

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Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)[modifica]

Definizione di DTFT[modifica]

7-9 La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) X \left( e^{j2 \pi f} \right) è la trasformata di Fourier della sequenza x \left( n \right):

X \left( e^{j2 \pi f} \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( n \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi f k} =  \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}

dove \omega è la pulsazione discreta: \omega = 2 \pi f.

Dimostrazione

2 Una sequenza x \left( n \right) può essere espressa come la somma pesata dei campioni presi negli istanti di tempo k:

x \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) \delta \left( n - k \right)

6 La trasformata di Fourier di x \left( n \right) pertanto vale:

\mathcal{F} \left\{ x \left( n \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) \delta \left( n - k \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) \mathcal{F} \left\{\delta \left( n - k \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi f k}

8 La DTFT viene indicata con X \left( e^{j2 \pi f} \right) anziché con X \left( f \right) per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua f.

7 La DTFT è in realtà il caso particolare per T_c = 1 della trasformata di Fourier di un segnale analogico x \left( t \right) campionato con frequenza di campionamento f_c = \frac{1}{T_c}:

X_c \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) e^{-j2 \pi f k T_c}

8 che è periodica di periodo f_c → la DTFT è periodica di periodo:

\begin{cases} f_c = \frac{1}{T_c} = 1 \\
\omega = 2 \pi f_c = 2 \pi \end{cases}

Inversione della DTFT (IDTFT)[modifica]

10-11 Siccome la DTFT X \left( e^{j \omega} \right) è periodica, i coefficienti x \left( k \right) possono essere intepretati come i coefficienti \mu_k dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di f in funzione di \omega
x \left( t \right)  = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \mu_k e^{j \frac{2 \pi}{T} kt}
\mu_k = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt
X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j 2 \pi f k}
x \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{j2 \pi f k} df
X \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}
x \left( k \right) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{+ \pi} X \left( e^{j \omega} \right) e^{j \omega k} d \omega
12 Verifica dell'inversione
\int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f } \right) e^{j2 \pi f k} df = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} \left[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) e^{-j2 \pi f n} \right] e^{j2 \pi f k} df = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} e^{-j 2 \pi f \left( n - k \right)} df = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{1}{-j2 \pi \left( n - k \right)} \left. e^{-j2 \pi f \left( n - k \right)} \right \vert_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{1}{j 2 \pi \left( n - k \right)} \left(  e^{j \pi \left( n - k \right)} - e^{-j \pi \left( n - k \right)} \right) =

Per la formula di Eulero:

= \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{\sin \left( \pi \left( n - k \right) \right)}{\pi \left( n - k \right)} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty } x \left( n \right) \mathrm{sinc} \left( n - k \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \delta \left( n - k \right) = x \left( k \right)

Condizioni di esistenza[modifica]

Se la sequenza x \left( k \right) è assolutamente sommabile, allora:

  • 14 esiste la sua DTFT:
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| \in \R \quad \forall \omega
15 Dimostrazione
\left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| = \left| \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{- j \omega k} \right| \leq \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) e^{- j \omega k} \right| = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| \in \R
  • 15 la sua energia è finita:
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 \in \R
Dimostrazione
E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 \leq {\left( \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \right)}^2 \in \R \Rightarrow E_x \in \R

Proprietà della DTFT[modifica]

Linearità[modifica]

19 La DTFT è un operatore lineare:

z \left( n \right) =  a_1 \cdot x \left( n \right) + a_2 \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = a_1 \cdot X \left( e^{j 2 \pi f} \right) + a_2 \cdot Y \left( e^{j 2 \pi f} \right)

Ribaltamento[modifica]

20 Un ribaltamento della x \left( n \right) corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza f:

z \left( n \right) = x \left( - n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{- j 2 \pi f} \right)

Ritardo[modifica]

21 Una traslazione del tempo della sequenza x \left( n \right) corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

z \left( n \right) = x \left( n - N \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{- j 2 \pi f N}

Traslazione in frequenza (modulazione)[modifica]

22 Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza x \left( n \right) corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot e^{j 2 \pi f_0 n} \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi  f } \right) = X \left( e^{j 2 \pi \left( f - f_0 \right)} \right)

Derivazione in frequenza[modifica]

23

z \left( n \right) = n \cdot x \left( n \right) \Longleftrightarrow - 2 \pi j \cdot Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \frac{d }{df} X \left( e^{j 2 \pi f} \right)

Convoluzione lineare[modifica]

24 La convoluzione tra due sequenze x \left( n \right) e y \left( n \right) corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

z \left(  n \right) = x \left ( n \right) * y \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y \left( n  - k \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X \left( e^{j2 \pi f} \right) \cdot Y \left( e^{j2 \pi f} \right)

Prodotto[modifica]

25 Il prodotto tra due sequenze x \left( n \right) e y \left( n \right) corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione - \tfrac{1}{2} e + \tfrac{1}{2} grazie al fatto che la DTFT è periodica:

z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) * Y \left( e^{j2 \pi f} \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi \eta} \right) Y \left( e^{j2 \pi \left( f - \eta \right) } \right) d \eta

Relazioni di parità[modifica]

28 Se la sequenza x \left( n \right) è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze f = 0 e f = \tfrac{1}{2}:

\begin{cases} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X^* \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X^* \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} X_R \left( e^{j2 \pi f} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi f} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right) } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • 27 la parte reale è pari:
    \begin{cases} X_R \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_R \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • 29 la parte immaginaria è dispari:
    \begin{cases} X_I \left( e^{j 2 \pi f} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • il modulo è pari:
    \begin{cases} {\left| X \left( e^{j 2 \pi f} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) \\
{\left| X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • la fase è dispari:
    \begin{cases} \arg{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)} = \mathrm{arctg}  \frac{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi f} \right)}  \\
\arg{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)} = \mathrm{arctg}  \frac{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)}  \end{cases}

Valore iniziale e somma dei campioni[modifica]

37 Valore iniziale
\left. x \left( n \right) \right \vert_{n = 0} = x \left( 0 \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) df
Somma dei campioni
\left. X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right \vert_{f = 0} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in f = 0.

Relazione di Parseval[modifica]

39 La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2 df
Relazione di Parseval generalizzata
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y^* \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j2 \pi f} \right) Y^* \left( e^{j2 \pi f} \right) df

Spettro di energia[modifica]

40 Lo spettro di energia S_x \left( f \right) dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza x \left( n \right) nel dominio della frequenza:

S_x \left( f \right) = {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2
Proprietà

Lo spettro di energia S_x \left( f \right):

  • non può essere negativo;
  • se x \left( n \right) è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli[modifica]

Sequenza x \left( n \right) DTFT X \left( e^{j 2 \pi f} \right)
43 Sequenza delta \delta \left( n \right) 1
Sequenza costante 1 \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - n \right)
\delta \left( f \right) \quad f \in \left[ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right]
44 Sequenza segno \sgn \left( n \right) \frac{1 + e^{-j 2 \pi f}}{1 - e^{-j2 \pi f}}
46 Sequenza gradino u \left( n \right) \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{1 - e^{-j2 \pi f}}
47 Sequenza esponenziale e^{j2 \pi f_0 n} \delta \left( f - f_0 \right)
Sequenza cosinusoidale \cos \left( 2 \pi f_0 n \right) \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right]
Sequenza sinusoidale \sin \left( 2 \pi f_0 n \right) \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) \right]
48 Sequenza sinc \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{N} \right) N \cdot P_{\frac{1}{N}} \left( f \right)
49 Sequenza porta p_{2K+1} \left( n \right) \frac{\sin \left[ \pi f \left( 2K + 1 \right) \right]}{\sin \left( \pi f \right)}

Banda di un segnale a tempo discreto[modifica]

Banda assoluta[modifica]

Discrete-time absolute bandwidth definition.png

53 La banda assoluta della sequenza x \left( n \right) è la frequenza B_x \leq \frac{1}{2}, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT \left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right| è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo \left[ - B_x, B_x \right]. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalente[modifica]

Discrete-time equivalent bandwidth definition.png

54 La larghezza di banda B_{\text{eq}} è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo {\left| X_M \right|}^2 dello spettro di energia  S_x \left( f  \right);
  • la cui area è uguale all'energia complessiva E \left( S_x \right) della DTFT, cioè all'area sottesa da S_x \left( f \right) all'interno del singolo periodo della DTFT:
2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} S_x \left( f \right) df = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} {\left| X \left( e^{2j \pi f} \right) \right|}^2 df
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza x \left( n \right), data dalla somma di tutti i suoi campioni:
2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = E_x = \sum_{k  = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)

Banda Bx%[modifica]

Discrete-time percentage bandwidth definition.png

55 La banda B_{x%} è la frequenza per cui l'intervallo \left[ - B_{x%} , B_{x%} \right] corrisponde all'x% dell'energia complessiva della sequenza y \left( n \right), ovvero all'x% dell'area sottesa dallo spettro di energia S_y \left( f \right) all'interno del singolo periodo della DTFT:

\int_{- B_{x%}}^{+ B_{x%}} S_y \left( f \right) df = \frac{x}{100} \int_{- {1 \over 2}}^{+ {1 \over 2}} S_y \left( f \right) df = \frac{x}{100} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| y \left( n \right) \right|}^2

Banda a 3 dB[modifica]

56 La banda a 3 dB B_{3 \text{ dB}} è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia S_x \left( f \right) si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

S_x \left( B_{3 \text{ dB}} \right) = \frac{{\left| X_M \right| }^2}{2}
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