Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

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Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)[modifica]

Definizione di DTFT[modifica]

7-9 La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è la trasformata di Fourier della sequenza :

dove è la pulsazione discreta: .

Dimostrazione

2 Una sequenza può essere espressa come la somma pesata dei campioni presi negli istanti di tempo :

6 La trasformata di Fourier di pertanto vale:

8 La DTFT viene indicata con anziché con per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua .

7 La DTFT è in realtà il caso particolare per della trasformata di Fourier di un segnale analogico campionato con frequenza di campionamento :

8 che è periodica di periodo → la DTFT è periodica di periodo:

Inversione della DTFT (IDTFT)[modifica]

10-11 Siccome la DTFT è periodica, i coefficienti possono essere intepretati come i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di in funzione di



12 Verifica dell'inversione

Per la formula di Eulero:

Condizioni di esistenza[modifica]

Se la sequenza è assolutamente sommabile, allora:

  • 14 esiste la sua DTFT:
15 Dimostrazione
  • 15 la sua energia è finita:
Dimostrazione

Proprietà della DTFT[modifica]

Linearità[modifica]

19 La DTFT è un operatore lineare:

Ribaltamento[modifica]

20 Un ribaltamento della corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza :

Ritardo[modifica]

21 Una traslazione del tempo della sequenza corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

Traslazione in frequenza (modulazione)[modifica]

22 Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

Derivazione in frequenza[modifica]

23

Convoluzione lineare[modifica]

24 La convoluzione tra due sequenze e corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

Prodotto[modifica]

25 Il prodotto tra due sequenze e corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione e grazie al fatto che la DTFT è periodica:

Relazioni di parità[modifica]

28 Se la sequenza è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze e :

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • 27 la parte reale è pari:
  • 29 la parte immaginaria è dispari:
  • il modulo è pari:
  • la fase è dispari:

Valore iniziale e somma dei campioni[modifica]

37 Valore iniziale
Somma dei campioni

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in .

Relazione di Parseval[modifica]

39 La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

Relazione di Parseval generalizzata

Spettro di energia[modifica]

40 Lo spettro di energia dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza nel dominio della frequenza:

Proprietà

Lo spettro di energia :

  • non può essere negativo;
  • se è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli[modifica]

Sequenza DTFT
43 Sequenza delta
Sequenza costante
44 Sequenza segno
46 Sequenza gradino
47 Sequenza esponenziale
Sequenza cosinusoidale
Sequenza sinusoidale
48 Sequenza sinc
49 Sequenza porta

Banda di un segnale a tempo discreto[modifica]

Banda assoluta[modifica]

Discrete-time absolute bandwidth definition.png

53 La banda assoluta della sequenza è la frequenza , quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo . È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalente[modifica]

Discrete-time equivalent bandwidth definition.png

54 La larghezza di banda è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo dello spettro di energia ;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva della DTFT, cioè all'area sottesa da all'interno del singolo periodo della DTFT:
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza , data dalla somma di tutti i suoi campioni:

Banda Bx%[modifica]

Discrete-time percentage bandwidth definition.png

55 La banda è la frequenza per cui l'intervallo corrisponde all' dell'energia complessiva della sequenza , ovvero all' dell'area sottesa dallo spettro di energia all'interno del singolo periodo della DTFT:

Banda a 3 dB[modifica]

56 La banda a 3 dB è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

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