Teoria ed elaborazione dei segnali/Proprietà trasformata

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Convoluzione[modifica]

12 L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

z \left( t \right) = x \left( t \right) * y \left( t \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) y \left( t - \tau \right) d \tau

16 La convoluzione tra due segnali x \left( t \right), a supporto finito \left[ -a , +a \right] e y \left( t \right), a supporto finito \left[ -b, +b \right]:

  • ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: \left[ - \left( b + a \right) , + \left( b + a \right) \right];
  • riduce le discontinuità, e in particolare è di classe C^{n+1} se le due funzioni sono di classe C^n.

Convoluzione di porte[modifica]

La convoluzione z \left( t \right) tra la porta x \left( \tau \right) = {\Pi}_{2a} \left( \tau \right) e la porta y \left( \tau \right) = {\Pi}_{2b} \left( \tau \right) ha supporto 2 \left( b + a \right) ed è una funzione continua (classe C^0):

Gate convolution.png

Se a = b la convoluzione z \left( t \right) è la funzione 2a \operatorname{tri} \left( \tfrac{t}{2a} \right):

Gate convolution (triangular case).png

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate X \left( f \right) e Y \left( f \right) non sono nulle:

Gate convolution (frequency).png

Proprietà[modifica]

17 Commutativa
x \left( t \right) * y \left( t \right) = y \left( t \right) * x \left( t \right)
Associativa
x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) * w \left( t \right) \right] = \left[ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right] * w \left( t \right)
Distributiva
x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) + w \left( t \right) \right] =  x \left( t \right) * y \left( t \right) + x \left( t \right) * w \left( t \right)

Proprietà della delta di Dirac[modifica]

Campionamento[modifica]

20 La moltiplicazione di una funzione x \left( t \right) per una funzione delta \delta \left( t - \tau \right), traslata di \tau, restituisce il campione di x \left( t \right) in t = \tau:

x \left( t \right) \delta \left( t  - \tau \right) = x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right)

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo x \left( t \right) una qualsiasi funzione y \left( t \right) che assuma lo stesso valore in t = \tau, in particolare la funzione costante y \left( t \right) = x \left( \tau \right).

Traslazione[modifica]

La convoluzione di una funzione x \left( t \right) con una funzione delta \delta \left( t - \tau \right), traslata di \tau, restituisce il segnale traslato:

x \left( t \right) * \delta \left( t - \tau \right) = x \left( t - \tau \right)
Dimostrazione
x \left( t \right) * \delta \left( t - \tau \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( t' - \tau \right) x \left( t - t' \right) dt' = x \left( t - \tau \right)

Proprietà della trasformata di Fourier[modifica]

Linearità[modifica]

3 La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:[1]

\mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}

Anticipo o ritardo[modifica]

4 La trasformata di Fourier del segnale x \left( t \right) ritardato o anticipato di una fase \theta vale:

\mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (\arg X \left( f \right) - 2 \pi \theta f), mentre il modulo \left| X \left( f \right) \right| non varia.

Modulazione e traslazione[modifica]

6 La modulazione del segnale x \left( t \right), di una frequenza f_0, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)

7 e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]
\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \sin { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2j} \left[ X \left( f - f_0 \right) -  X \left( f + f_0 \right) \right]
Frequency modulation (frequency components).png

Scalamento[modifica]

7 Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

\mathcal{F} \left\{ x \left( Kt \right) \right\} = \frac{1}{\left| K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)

Relazioni di parità[modifica]

10-11 Se il segnale x \left( t \right) è reale, allora la sua trasformata di Fourier X \left( f \right) ha le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale \Re{\left\{ X \left( f \right) \right\}} è pari:
    \Re{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = \Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}
  • la parte immaginaria \Im{\left\{ X \left( f \right) \right\}} è dispari:
    \Im{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = - \Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}
  • il modulo \left| X \left( f \right) \right| è pari:
    {\left| X \left( f \right) \right|}^2 = {\Re}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} + {\Im}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} = \, \text{pari} \, \times \, \text{pari} \, + \, \text{dispari} \, \times \, \text{dispari} \, = \, \text{pari}
  • la fase \arg{X\left( f \right)} è dispari:
    \arg{X \left( f \right)} = \mathrm{arctg} \frac{\Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}}{\Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}} = \mathrm{arctg} \left(  \text{dispari}  \right) = \, \text{dispari}

Se il segnale x \left( t \right) è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

X^* \left( -  f \right) = X \left( f \right)

Convoluzione e prodotto[modifica]

12 La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)

Derivazione ed integrazione[modifica]

18 Derivazione
\mathcal{F} \left\{ {\partial \over \partial t} x \left( t \right) \right\} = j2 \pi f X \left( f \right)
\mathcal{F} \left\{ {{\partial}^n \over \partial t^n} x \left( t \right) \right\} = {\left( j2 \pi f \right)}^n X \left( f \right)
Integrazione
\mathcal{F} \left\{ \int_{- \infty}^t x \left( r \right) dr \right\} = \frac{1}{2} X \left( 0 \right) \delta \left( f \right) + \frac{X \left( f \right)}{j2 \pi f}
19 Dimostrazione

L'integrale fino a t si può estendere fino a + \infty cancellando la parte a destra di t con una funzione gradino:

\int_{- \infty}^t x \left( r \right) dr = \int_{- \infty}^{+ \infty} u \left( t - r \right) x \left( r \right) d t = u \left( t \right) * x \left( t \right)
\mathcal{F} \left\{ \int_{- \infty}^{t} x \left( r \right) dr \right\} = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) * x \left( t \right)  \right\} = U \left( f \right) X \left( f \right) =

Ricordando la trasformata fondamentale della funzione gradino u \left(t \right):

U \left( f \right) = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}

si trova:

= \frac{1}{2} X \left( 0 \right) \delta \left( f \right) + \frac{X \left( f \right)}{j 2 \pi f}

Dualità[modifica]

22 \mathcal{F} \left\{ X \left( t \right) \right\} = x \left( - f \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - f \right) \right\}

Altre proprietà[modifica]

23 Uguaglianza di Parseval
E \left( x \right) = \int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \int {\left| X \left( f \right) \right|}^2 df
Invarianza prodotto scalare
\langle x \left( t \right), y \left( t \right) \rangle = \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle
Diseguaglianza di Schwarz
\left| \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle \right| \leq \left\| X \left( f \right) \right\| \left\| Y \left( f \right) \right\|

Relazione tempo-frequenza[modifica]

24 Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

25 Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[2]

  • se la funzione x \left( t \right) ha supporto finito, la sua trasformata X \left( f \right) non ha supporto finito;
  • se la funzione X \left( f \right) ha supporto finito, la sua antitrasformata x \left( t \right) non ha supporto finito.

26 Si definisce estensione temporale d:

d^2 = \int t^2 \frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} dt

Si definisce estensione di frequenza D:

D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} df

È possibile dimostrare che vale:

d \cdot D \geq \frac{1}{2}

27 L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

  • tempo: \frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}
  • frequenza: \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità \mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}
Anticipo o ritardo \mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}
Modulazione e traslazione \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)
Scalamento \mathcal{F} \left\{ x \left( Kt \right) \right\} = \frac{1}{\left| K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)
Relazioni di parità x \left( t \right) \in \R \Leftrightarrow \begin{cases} \Re{ \left\{ X \left( f \right) \right\} } \, \text{e} \, \left| X \left( f \right) \right| \, \text{sono pari} \\ \Im{ \left\{ X \left( f \right) \right\} } \, \text{e} \, \arg{X \left ( f \right)} \, \text{sono dispari} \end{cases}
Convoluzione e prodotto \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)
Dualità \mathcal{F} \left\{ X \left( f \right) \right\} = x \left( - t \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - t \right) \right\}

Esempi di trasformate[modifica]

29 Funzione porta
Gate function Fourier transformation.png
\mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right)
30 Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore r \left( t - i T \right) viene moltiplicato per una opportuna costante a_i, e il segnale digitale x \left( t \right) sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

x \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)}

Per la proprietà del ritardo:

\mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) e^{- j 2 \pi f i T}

Per la proprietà di linearità:

\mathcal{F} \left\{ \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \right\} = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i \mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) \sum_{- \infty}^{+ \infty} a_i  e^{- j 2 \pi f i T} = Z \left( f \right)

Siccome R \left( t \right) è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico z \left( t \right) non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore r \left( t \right) → l'ampiezza dello spettro Z \left( t \right) del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \left[ Z \left( f - f_0 \right) + Z \left( f - f_0 \right) \right]

Note[modifica]

  1. Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
  2. Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.
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