Teoria ed elaborazione dei segnali/Proprietà trasformata

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Convoluzione[modifica]

12 L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

16 La convoluzione tra due segnali , a supporto finito e , a supporto finito :

  • ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: ;
  • riduce le discontinuità, e in particolare è di classe se le due funzioni sono di classe .

Convoluzione di porte[modifica]

La convoluzione tra la porta e la porta ha supporto ed è una funzione continua (classe ):

Gate convolution.png

Se la convoluzione è la funzione :

Gate convolution (triangular case).png

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate e non sono nulle:

Gate convolution (frequency).png

Proprietà[modifica]

17 Commutativa
Associativa
Distributiva

Proprietà della delta di Dirac[modifica]

Campionamento[modifica]

20 La moltiplicazione di una funzione per una funzione delta , traslata di , restituisce il campione di in :

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo una qualsiasi funzione che assuma lo stesso valore in , in particolare la funzione costante .

Traslazione[modifica]

La convoluzione di una funzione con una funzione delta , traslata di , restituisce il segnale traslato:

Dimostrazione

Proprietà della trasformata di Fourier[modifica]

Linearità[modifica]

3 La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:[1]

Anticipo o ritardo[modifica]

4 La trasformata di Fourier del segnale ritardato o anticipato di una fase vale:

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (), mentre il modulo non varia.

Modulazione e traslazione[modifica]

6 La modulazione del segnale , di una frequenza , corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

7 e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

Frequency modulation (frequency components).png

Scalamento[modifica]

7 Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

Relazioni di parità[modifica]

10-11 Se il segnale è reale, allora la sua trasformata di Fourier ha le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale è pari:
  • la parte immaginaria è dispari:
  • il modulo è pari:
  • la fase è dispari:

Se il segnale è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

Convoluzione e prodotto[modifica]

12 La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

Derivazione ed integrazione[modifica]

18 Derivazione
Integrazione
19 Dimostrazione

L'integrale fino a si può estendere fino a cancellando la parte a destra di con una funzione gradino:

Ricordando la trasformata fondamentale della funzione gradino :

si trova:

Dualità[modifica]

22

Altre proprietà[modifica]

23 Uguaglianza di Parseval
Invarianza prodotto scalare
Diseguaglianza di Schwarz

Relazione tempo-frequenza[modifica]

24 Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

25 Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[2]

  • se la funzione ha supporto finito, la sua trasformata non ha supporto finito;
  • se la funzione ha supporto finito, la sua antitrasformata non ha supporto finito.

26 Si definisce estensione temporale :

Si definisce estensione di frequenza :

È possibile dimostrare che vale:

27 L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

  • tempo:
  • frequenza:

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità
Anticipo o ritardo
Modulazione e traslazione
Scalamento
Relazioni di parità
Convoluzione e prodotto
Dualità

Esempi di trasformate[modifica]

29 Funzione porta
Gate function Fourier transformation.png
30 Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore viene moltiplicato per una opportuna costante , e il segnale digitale sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

Per la proprietà del ritardo:

Per la proprietà di linearità:

Siccome è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore → l'ampiezza dello spettro del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

Note[modifica]

  1. Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
  2. Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.
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