Calcolo matriciale

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  Una matrice è un insieme di elementi di natura qualsiasi sul quale è stato realizzato un doppio ordinamento di righe parallele e colonne parallele.

[math]m[/math] = numero righe
[math]n[/math] = numero colonne

Se [math]m=n[/math] ho una matrice quadrata.

[math]A_{m,n}[/math] indica una matrice di tipo [math]m,n[/math].


Una matrice generica si indica in questo modo:

[math]A_{m,n}=\begin{bmatrix} { a }_{ 1,1 } & { a }_{ 1,2 } & { a }_{ 1,3 } & ... & { a }_{ 1,n } \\ { a }_{ 2,1 } & { a }_{ 2,2 } & { a }_{ 2,3 } & ... & { a }_{ 2,n } \\ ... & ... & ... & & ... \\ { a }_{ m,1 } & { a }_{ m,2 } & { a }_{ m,3 } & ... & { a }_{ m,n } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ ... \\ \mathbf{a}_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i,k} \end{bmatrix}[/math]

dove [math]i=1,2,3...m[/math] e [math]k=1,2,3...n[/math]


 

Esempi:

Matrice di tipo 2,3:

[math]A_{2,3}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}[/math]


Matrice quadrata di ordine 2:

[math]A_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}[/math]


Matrice quadrata di ordine 1:

[math]A_{1}=\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}[/math]


Matrice riga (o vettore riga) con [math]m=1[/math] e [math]n\neq1[/math]:

[math]A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{k} \end{bmatrix}[/math]

La matrice riga vista nell'ultimo esempio, si indica con una lettera minuscola in grassetto (o sottolineata).

Se ho invece [math]m\neq1[/math] e [math]n=1[/math] si parla di vettore colonna (o vettore trasposto).

 

Vettore riga:

[math] \mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} [/math]


Vettore colonna (in questo caso, vettore trasposto del vettore riga precedente):

[math] \mathbf{a}_{\tau} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} [/math]

Matrici e vettori uguali e nulli[modifica]

  Date due matrici dello stesso tipo (o ordine), queste si dicono uguali se [math] a_{i,k} = b_{i,k} [/math].

L'uguaglianza tra matrici si indica con il simbolo [math] \leftrightarrows [/math]

  [math] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} [/math]

La stessa regola vale per i vettori:

  [math] \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} [/math]
  Una matrice si dice nulla quando tutti i suoi elementi solo nulli.

E lo stesso vale per i vettori.

 
Le seguenti matrici sono tutte nulle:

[math] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0[/math]

[math] B = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} = 0 [/math]

[math] C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 [/math]

[math] D = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 [/math]

Operazioni sulle matrici[modifica]

Somma di matrici[modifica]

  [math] A_{m,n} + B_{m,n} = C_{m,n} [/math]
 
[math] A_{2,3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} [/math]

[math] B_{2,3} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix} [/math]

[math]A + B = C [/math]

[math] C_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 8 \end{bmatrix} [/math]

Per le matrici vale la proprietà commutativa, per cui:

  [math] A + B = B + A [/math]

così come vale la proprietà associativa:

  [math] A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B [/math]

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di uno scalare per una matrice[modifica]

 
[math] C = \lambda \cdot A [/math]

[math] c_{ik} = \lambda a_{ik} [/math]

dove [math]\lambda[/math] è un numero
 
Se ho [math] A_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}[/math]  e  [math] \lambda = \frac{1}{3}[/math]

[math] C = \frac{1}{3} \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} [/math]

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di due matrici[modifica]

 

Due matrici sono conformabili righe per colonne quando il numero delle colonne della prima è uguale al numero delle righe della seconda (e viceversa).

Se due matrici sono conformabili righe per colonne, sono anche moltiplicabili righe per colonne.


 
[math] A_{m,p} \cdot B_{p,m} = C_{m,n} [/math]

[math] c_{ik} = \sum _{r=1}^{p}{( {a}_{i,r} \cdot {b}_{r,k} )} [/math]

 
[math] C_{3,4} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & ... & ... & ... \\ ... & ... & 37 & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{bmatrix} [/math]

dove [math] c_{1,1} = 1\cdot1 + 2\cdot5 = 1+10 = 11 [/math]

e [math] c_{2,3} = 3\cdot3 + 4\cdot7 = 9+28 = 37 [/math]

Vale la proprietà associativa:

  [math] A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C [/math]

ma non vale la proprietà commutativa:

  [math] A \cdot B \neq B \cdot A \longrightarrow C_{2} \neq C_{3} [/math]

con un'unica eccezione: la proprietà commutativa vale nel caso di una matrice identica:

 
[math] I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

se [math] i=k [/math], [math] a_{i,k} = 1 [/math]; se [math] i\neq k [/math], [math] a_{i,k} = 0 [/math]

[math] I_{n} \cdot A_{n} = A_{n} \cdot i_{n} = A_{n} [/math]