Calcolo matriciale

Da WikiAppunti.
  Una matrice è un insieme di elementi di natura qualsiasi sul quale è stato realizzato un doppio ordinamento di righe parallele e colonne parallele.

m = numero righe
n = numero colonne

Se m=n ho una matrice quadrata.

A_{m,n} indica una matrice di tipo m,n.


Una matrice generica si indica in questo modo:

A_{m,n}=\begin{bmatrix} { a }_{ 1,1 } & { a }_{ 1,2 } & { a }_{ 1,3 } & ... & { a }_{ 1,n } \\ { a }_{ 2,1 } & { a }_{ 2,2 } & { a }_{ 2,3 } & ... & { a }_{ 2,n } \\ ... & ... & ... &  & ... \\ { a }_{ m,1 } & { a }_{ m,2 } & { a }_{ m,3 } & ... & { a }_{ m,n } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ ... \\ \mathbf{a}_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i,k} \end{bmatrix}

dove i=1,2,3...m e k=1,2,3...n


 

Esempi:

Matrice di tipo 2,3:

A_{2,3}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}


Matrice quadrata di ordine 2:

A_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}


Matrice quadrata di ordine 1:

A_{1}=\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}


Matrice riga (o vettore riga) con m=1 e n\neq1:

A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{k} \end{bmatrix}

La matrice riga vista nell'ultimo esempio, si indica con una lettera minuscola in grassetto (o sottolineata).

Se ho invece m\neq1 e n=1 si parla di vettore colonna (o vettore trasposto).

 

Vettore riga:

 \mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}


Vettore colonna (in questo caso, vettore trasposto del vettore riga precedente):

 \mathbf{a}_{\tau} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}

Matrici e vettori uguali e nulli[modifica]

  Date due matrici dello stesso tipo (o ordine), queste si dicono uguali se  a_{i,k} = b_{i,k} .

L'uguaglianza tra matrici si indica con il simbolo  \leftrightarrows

   A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}

La stessa regola vale per i vettori:

   \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix}
  Una matrice si dice nulla quando tutti i suoi elementi solo nulli.

E lo stesso vale per i vettori.

 
Le seguenti matrici sono tutte nulle:

 A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0

 B = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} = 0

 C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0

 D = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0

Operazioni sulle matrici[modifica]

Somma di matrici[modifica]

   A_{m,n} + B_{m,n} = C_{m,n}
 
 A_{2,3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} 

 B_{2,3} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix}

A + B = C

 C_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 8 \end{bmatrix}

Per le matrici vale la proprietà commutativa, per cui:

   A + B = B + A

così come vale la proprietà associativa:

   A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di uno scalare per una matrice[modifica]

 
 C = \lambda \cdot A 

 c_{ik} = \lambda a_{ik}

dove \lambda è un numero
 
Se ho  A_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}  e   \lambda = \frac{1}{3}

 C = \frac{1}{3} \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix}

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di due matrici[modifica]

 

Due matrici sono conformabili righe per colonne quando il numero delle colonne della prima è uguale al numero delle righe della seconda (e viceversa).

Se due matrici sono conformabili righe per colonne, sono anche moltiplicabili righe per colonne.


 
 A_{m,p} \cdot B_{p,m} = C_{m,n} 

 c_{ik} = \sum _{r=1}^{p}{( {a}_{i,r}  \cdot {b}_{r,k} )}

 
 C_{3,4} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & ... & ... & ... \\ ... & ... & 37 & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{bmatrix} 

dove  c_{1,1} = 1\cdot1 + 2\cdot5 = 1+10 = 11

e  c_{2,3} = 3\cdot3 + 4\cdot7 = 9+28 = 37

Vale la proprietà associativa:

   A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C

ma non vale la proprietà commutativa:

   A \cdot B \neq B \cdot A \longrightarrow  C_{2} \neq C_{3}

con un'unica eccezione: la proprietà commutativa vale nel caso di una matrice identica:

 
 I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

se  i=k ,  a_{i,k} = 1 ; se  i\neq k ,  a_{i,k} = 0

 I_{n} \cdot A_{n} = A_{n} \cdot i_{n} = A_{n}