Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformata zeta
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 B6. Sistemi LTI a tempo discreto |  Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali) | B8. Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta  |
|---|
- 2 Vantaggio rispetto alla DTFT
La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.
- Utilità
La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.
Definizione[modifica | modifica sorgente]
6 La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> della sequenza <math>x \left( n \right)</math> è un polinomio nella variabile <math>z^{-1}</math> e con i campioni della sequenza <math>x \left( n \right)</math> per coefficienti:
- <math>X \left( z \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) z^{-n}</math>
5 dove <math>z</math> è una variabile complessa di modulo <math>\rho</math> e fase <math>\omega = 2 \pi f</math>, che può assumere valori in tutto il piano complesso:
- <math>z = \rho \cdot e^{j \omega}</math>
Relazione con la DTFT[modifica | modifica sorgente]
4 La DTFT <math>X \left( e^{j \omega} \right)</math> è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di <math>\omega</math> una circonferenza di raggio unitario:
- <math>X \left( e^{j \omega} \right) = \left. X \left( z \right) \right \vert_{z = e^{j \omega}} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) e^{-j \omega n}</math>
7-8-9-10-11 Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.
Relazione con la DFT[modifica | modifica sorgente]
14 A partire dai campioni della DFT di una sequenza <math>x \left( n \right)</math> a supporto limitato <math>\left[ 0 , N - 1 \right]</math> si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:
- <math>X \left( z \right) = \frac{1}{N} \left( 1 - z^{-N} \right) \sum_{k =0}^{N-1} \frac{X \left( k \right)}{1 - e^{j \frac{2 \pi}{N} k} z^{-1}}</math>
{1- e^{j \frac{2 \pi}{N} k} z^{-1}} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} X \left( k \right) \frac{1- e^{j2 \pi k} z^{-N}}{1- e^{j \frac{2 \pi}{N} k} z^{-1}} =</math>
- <math>e^{j2 \pi k} = 1 \Rightarrow = \frac{1}{N} \sum_{k =0}^{N-1} X \left( k \right) \frac{1- z^{-N}}{1- e^{j \frac{2 \pi}{N} k} z^{-1}}</math>
}}
Analisi della regione di convergenza[modifica | modifica sorgente]
16 L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.
17 La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza <math>x \left( n \right) \rho^{-n}</math> è assolutamente sommabile:
- <math>\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( n \right) \right| {\rho}^{-n} \in \R</math>
Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase <math>\omega</math> ma solo dal modulo <math>\rho</math>.
- Esempio
- <math>x \left( n \right) = \delta \left( n - n_0 \right) \Rightarrow X \left( z \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( n - n_0 \right) z^{-n} = z^{- n_0}</math>
- se <math>n_0 = 0</math> converge su tutto il piano complesso:
- <math>X \left( z \right) = 1</math>
- se <math>n_0 > 0</math> diverge per <math>z = 0</math>:
- <math>X \left( z \right) = \frac{1}{z^{n_0}}</math>
- se <math>n_0 < 0</math> diverge per <math>z \to + \infty</math>:
- <math>X \left( z \right) = z^{\left| n_0 \right|}</math>
Sequenze unilatere e sequenze bilatere[modifica | modifica sorgente]
20 La ricerca della regione di convergenza di <math>X \left( z \right)</math> equivale alla ricerca della regione in cui la serie <math>x \left( n \right) \rho^{-n}</math> risulta assolutamente sommabile:
- <math>\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( n \right) \right| \rho^{-n} = \overbrace{\sum_{n = - \infty}^{-1} \left| x \left( n \right) \right| \rho^{-n}}^{\text{anti-causale}} + \overbrace{\sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| x \left( n \right) \right| \rho^{-n}}^{\text{causale}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left| x \left( - n \right) \right| \rho^n + \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{\left| x \left( n \right) \right|}{\rho^n}</math>
- 21 la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio <math>\rho_1</math> sufficientemente piccolo;
- 22 la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio <math>\rho_2</math> sufficientemente grande.
- 19-23-24 Sequenze unilatere anti-causali
La parte causale è nulla → la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge all'interno della circonferenza di raggio <math>\rho_1</math>:
- Sequenze unilatere causali
La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge all'esterno della circonferenza di raggio <math>\rho_2</math>:
- Sequenze bilatere
Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:
- se <math>\rho_1 < \rho_2</math>, la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
- se <math>\rho_1 > \rho_2</math>, la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge nella corona circolare tra <math>\rho_2</math> e <math>\rho_1</math>:
Regione di convergenza delle sequenze gradino[modifica | modifica sorgente]
25 Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:
- <math>X \left( z \right) = \frac{1}{1- z^{-1}}</math>
ma regioni di convergenza differenti:
- il gradino <math>u \left( n \right)</math> converge all'esterno della circonferenza unitaria: <math>\left| z \right| > 1</math>;
\quad \left| z^{-1} \right| < 1</math>
}}
- il gradino anti-causale <math>-u \left( - n - 1 \right) = \begin{cases} -1 & n \leq -1 \\
0 & n > -1 \end{cases}</math> converge all'interno della circonferenza unitaria: <math>\left| z \right| < 1</math>.
\quad \left| z \right| < 1</math>
}}
Regione di convergenza di sequenze a supporto finito[modifica | modifica sorgente]
30 La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> di sequenze a supporto finito <math>\left[ n_1 , n_2 \right]</math>:
- <math>X \left( z \right) = \sum_{k = n_1}^{n_2} x \left( k \right) z^{-k}</math>
- Sequenze unilatere causali (<math>n_1 \geq 0</math>)
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine (<math>z =0</math>). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.
- Sequenze unilatere anti-causali (<math>n_2 < 0</math>)
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito (<math>z \to \infty</math>). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.
Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi[modifica | modifica sorgente]
32-33 Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:
- <math>X \left( z \right) = \frac{N \left( z \right)}{D \left( z \right)} = \frac{\sum_{i=0}^{p_n} b_i z^{-i}}{\sum_{i=0}^{p_d} a_i z^{-i}} = z^{p_d - p_n} \frac{\sum_{i = 0}^{p_n} b_i z^{p_n-i}}{\sum_{i=0}^{p_d} a_i z^{p_d-i}} = \frac{b_0}{a_0} z^{p_d - p_n} \frac{\prod_{i=1}^{p_n} z - c_i}{\prod_{i=1}^{p_d} z-d_i}</math>
- le radici <math>c_1, \ldots , c_{p_n}</math> del numeratore sono gli zeri di <math>X \left( z \right)</math>;
- le radici <math>d_1, \ldots , d_{p_d}</math> del denominatore sono i poli di <math>X \left( z \right)</math>.
- 34 Sequenze unilatere causali
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per <math>z \to \infty</math>.
- 35 Sequenze unilatere anti-causali
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.
- 36 Sequenze bilatere
La trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.
Proprietà della trasformata zeta[modifica | modifica sorgente]
| Sequenza | Trasformata zeta | Regione di convergenza | |
|---|---|---|---|
| 43 Linearità | <math>a_1 x \left( n \right) + a_2 y \left( n \right)</math> | <math>a_1 X \left( z \right) + a_2 X \left( z \right)</math> | <math>R_x \cap R_y</math> |
| 44 Ritardo nel tempo | <math>x \left( n - N \right)</math> | <math>z^{-N} X \left( z \right)</math> | <math>R_x - \left\{ 0 \right\}</math> |
| Anticipo nel tempo | <math>x \left( n + N \right)</math> | <math>z^N X \left( z \right)</math> | <math>R_x \in \R</math> |
| 45 Ribaltamento nel tempo | <math>x \left( - n \right)</math> | <math>X \left( z^{-1} \right)</math> | <math>\frac{1}{R_x}</math> |
| 46 Coniugazione complessa | <math>x^* \left( n \right)</math> | <math>X^* \left( z^* \right)</math> | <math>R_x</math> |
| 47 Scalamento nel dominio trasformato | <math>a^n x \left( n \right)</math> | <math>X \left( \frac{z}{a} \right)</math> | a \right| R_x</math> |
| 48 Derivata nel dominio trasformato | <math>n x \left( n \right)</math> | <math>-z \frac{d}{dz} X \left( z \right)</math> | <math>R_x</math> |
| 50 Convoluzione nel tempo | <math>x \left( n \right) * y \left( n \right)</math> | <math>X \left( z \right) Y \left( z \right)</math> | <math>R_x \cap R_y</math> |
| Parte reale | <math>\Re{\left\{ x \left( n \right) \right\}}</math> | <math>\frac{1}{2} \left[ X \left( z \right) + X^* \left( z^* \right) \right]</math> | <math>R_x</math> |
| Parte immaginaria | <math>\Im{\left\{ x \left( n \right) \right\}}</math> | <math>\frac{1}{2j} \left[ X \left( z \right) - X^* \left( z^* \right) \right]</math> | <math>R_x</math> |
| Sequenza cosinusoidale | <math>\cos \left( 2 \pi f n \right) x \left( n \right)</math> | <math>\frac{1}{2} \left[ X \left( z e^{j2 \pi f} \right) + X \left( z e^{-j2 \pi f} \right) \right]</math> | — |
| Sequenza sinusoidale | <math>\sin \left( 2 \pi f n \right) x \left( n \right)</math> | <math>\frac{j}{2} \left[ X \left( z e^{j2 \pi f} \right) - X \left( z e^{-j2 \pi f} \right) \right]</math> | — |
Trasformata zeta unilatera[modifica | modifica sorgente]
54 La trasformata zeta unilatera <math>X^+ \left( z \right)</math> è la trasformata della parte causale della sequenza <math>x \left( n \right)</math>:
- <math>X^+ \left( z \right) = \sum_{n=0}^{+ \infty} x \left( n \right) z^{-n}</math>
Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> coincide con la trasformata zeta unilatera <math>X^+ \left( z \right)</math>.
| Sequenza <math>y \left( n \right)</math> | Trasformata zeta <math>X^+ \left( z \right)</math> | |
|---|---|---|
| 55 Ritardo nel tempo | <math>x \left( n - N \right)</math> | <math>z^{-N} \left[ X^+ \left( z \right) + \sum_{n=1}^N x \left( - n \right) z^n \right]</math> |
| 56 Anticipo nel tempo | <math>x \left( n + N \right)</math> | <math>z^N \left[ X^+ \left( z \right) - \sum_{n=0}^N x \left( n \right) z^{-n} \right]</math> |
Teorema del valore iniziale[modifica | modifica sorgente]
57 Se <math>x \left( n \right)</math> è una sequenza causale:
- <math>\lim_{z \to + \infty} X \left( z \right) = x \left( 0 \right)</math>
Trasformata zeta di sequenze elementari[modifica | modifica sorgente]
| Sequenza <math>x \left( n \right)</math> | Trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math> | Regione di convergenza | Poli e zeri |
|---|---|---|---|
| <math>\delta \left( n \right)</math> | <math>1</math> | <math>\forall z</math> | |
| <math>\delta \left( n - N \right) , \; N > 0</math> | <math>z^{-N}</math> | <math>z \neq 0</math> | |
| <math>\delta \left( n + N \right) , \; N > 0</math> | <math>z^{N}</math> | <math>z \in \R</math> | |
| <math>a^n u \left( n \right)</math> | <math>\frac{1}{1- a z^{-1}}</math> | z \right| > \left| a \right|</math> |
|
| <math>- a^n u \left( -n - 1 \right)</math> | <math>\frac{1}{1-a z^{-1}}</math> | z \right| < \left| a \right|</math> | |
| <math>n a^n u \left( n \right)</math> | <math>\frac{a z^{-1}}{{\left( 1 - a z^{-1} \right)}^2}</math> | z \right| > \left| a \right|</math> | |
| <math>n a^{n-1} u \left( n \right)</math> | <math>\frac{z^{-1}}{{\left( 1-a z^{-1} \right)}^2}</math> | z \right| > \left| a \right|</math> | |
| <math>\left( n - 1 \right) a^n u \left( n \right)</math> | <math>\frac{2a z^{-1} - 1}{{\left( 1-a z^{-1} \right)}^2}</math> | z \right| > \left| a \right|</math> | |
| <math>n^2 a^n u \left( n \right)</math> | <math>\frac{a z^{-1} \left( 1+a z^{-1} \right)}{{\left( 1-a z^{-1} \right)}^3}</math> | z \right| > \left| a \right|</math> | |
| <math>-n a^n u \left( - n - 1 \right)</math> | <math>\frac{a z^{-1}}{{\left( 1- a z^{-1} \right)}^2}</math> | z \right| < \left| a \right|</math> | |
| <math>a^n \sin{\left( \omega_0 n \right)} u \left( n \right)</math> | <math>\frac{a \sin{\omega_0} z^{-1}}{1-2a \cos{\omega_0} z^{-1} + a^2 z^{-2}}</math> | z \right| > a</math> |
|
| <math>a^n \cos{\left( \omega_0 n \right)} u \left( n \right)</math> | <math>\frac{1-a \cos{\omega_0} z^{-1}}{1-2a \cos{\omega_0} z^{-1} + a^2 z^{-2}}</math> | z \right| > a</math> |
|
| <math>a^n \left[ u \left( n \right) - u \left( n -N \right) \right]</math> | <math>\frac{1- a^N z^{-N}}{1-a z^{-1}}</math> | z \right| > 0</math> |
Inversione della trasformata zeta[modifica | modifica sorgente]
72 L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:
- <math>x \left( n \right) = \frac{1}{j2 \pi} \oint_{\gamma} X \left( z \right) z^{n-1} dz</math>
dove <math>\gamma</math> è una curva di Jordan:
- percorsa in senso antiorario;
- appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta <math>X \left( z \right)</math>;
- comprendente l'origine;
- comprendente <math>N_p</math> poli della funzione <math>X \left( z \right) z^{n-1}</math>.
73 Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli <math>N_p</math> poli:
- <math>x \left( n \right) = \frac{1}{j2 \pi} \oint_{\gamma} X \left( z \right) z^{n-1} dz = \sum_{i=1}^{N_p} \text{Res}_{X \left( z \right) z^{n-1}} \left( {z_0}_i \right)</math>
| Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è B7. Trasformata zeta. |
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