Teoria ed elaborazione dei segnali/Serie e trasformata

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Base canonica[modifica | modifica sorgente]

Funzione porta[modifica | modifica sorgente]

Funzione porta (tempo e frequenza).png

8 <math>{\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)</math> è la funzione porta unitaria di supporto <math>\Delta t</math> centrato nell'origine. Un segnale <math>x \left( t \right)</math> può essere approssimato con un segnale <math> x' \left( t \right)</math> costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

<math>x \left( t \right) \approx x ' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

Se <math>\Delta t \rightarrow 0</math> l'approssimazione diventa un'identità:

<math>x \left( t \right) = x ' \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

Seno cardinale[modifica | modifica sorgente]

Sinc function (normalized).svg
<math>\mathrm{sinc} \left( t \right) \triangleq \frac{\sin{\left( \pi t \right)}}{\pi t}</math>

Delta di Dirac[modifica | modifica sorgente]

10 Definizione
<math>x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( \tau \right) d \tau</math>

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

<math>\delta \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right)</math>

dove:

<math>\mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right) = \frac{\sin{\frac{t}{\Delta t}}}{\frac{t}{\Delta t}}</math>
Proprietà
  • La delta di Dirac ha area unitaria:
    <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( \tau \right) d \tau = 1</math>
  • Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione <math>x \left( t \right)</math>:
    <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = x \left( t \right)</math>
  • 11 La delta di Dirac ha energia infinita:
    <math>E \left( \delta \right) \to + \infty</math>
Dimostrazione

{\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

14 Energia[1]
<math>E \left( x \right) = \int x^2 \left( t \right) dt = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x^2 \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau</math>
Prodotto scalare
<math>\langle x , y \rangle = \int x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta \tau \right) y^* \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau</math>

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidale[modifica | modifica sorgente]

Serie di Fourier[modifica | modifica sorgente]

15 Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo <math>\left[ - \tfrac{T}{2} , \tfrac{T}{2} \right]</math>.[2] La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

<math>x \left( t \right) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau</math>

16-17 Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_n w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}</math>

dove gli elementi della base <math>w_n \left( t \right)</math> (infiniti e numerabili) sono:

<math>w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}</math>

e i coefficienti <math>c_n</math> (complessi, infiniti e numerabili) sono:

<math>c_n = \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta</math>

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

<math>E \left( x \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| c_n \right|}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle \right|}^2</math>

Il segnale <math>x \left( t \right)</math> è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

<math>x \left( t \right) \Leftrightarrow {\left( c_n \right)}_{n = - \infty}^{+ \infty}</math>

18 La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n w_n' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n' \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}</math>

dove gli elementi della base <math>w_n' \left( t \right)</math> sono:

<math>w_n' \left( t \right) = \sqrt{T} w_n \left( t \right) = e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}</math>

e i coefficienti <math>{\mu}_n</math> sono:

<math>{\mu}_n = \frac{1}{\sqrt{T}} c_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta</math>

Usando questa base l'energia vale:

<math>E \left( x \right) = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| {\mu}_n \right|}^2</math>

Trasformata di Fourier[modifica | modifica sorgente]

20-21 Segnali a supporto <math>T</math> infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

<math>x \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j2 \pi ft} df</math>
  • <math>X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta</math>
  • <math>x \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ X \left( f \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j 2 \pi f t} df</math>
Dimostrazione[3]

^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j 2 \pi \frac{n}{T} \theta} d \theta \right] e^{j 2 \pi \frac{n}{T} t} =</math>

facendo tendere a infinito l'ampiezza del supporto <math>T</math> e considerando che la variabile discreta <math>T</math> diventa la variabile continua <math>f</math> (sequenza di infinitesimi <math>df</math>):

<math>= \begin{cases} \sum \longrightarrow \int \\

\Delta f = \frac{1}{T} \longrightarrow df \\ \frac{n}{T} \longrightarrow f \end{cases} \Rightarrow x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ df \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta \right] e^{j 2 \pi f t}</math> }}

22 Condizione di esistenza[4]

Nel dominio delle funzioni, il segnale <math>x \left( t \right)</math> deve essere modulo integrabile:

<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x \left( t \right) \right| dt \in \R</math>

Alcune trasformate fondamentali[modifica | modifica sorgente]

23 Delta di Dirac
<math>\mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1 \Rightarrow \delta \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ 1 \right\} = \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{j2 \pi ft} df</math>
Dimostrazione
24 Funzione segno
<math>\mathcal{F} \left\{ \sgn t \right\} = \frac{1}{j \pi f}</math>
Dimostrazione

{\pi fa} - \frac{j}{\pi f} = - \frac{j}{\pi f} = \frac{1}{j \pi f}</math>

}}

25 Funzione gradino
<math>U \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Si assume un segnale <math>x \left( t \right)</math> reale.
  2. Si assume che il supporto sia simmetrico rispetto all'origine.
  3. Per semplicità non si considerano alcune condizioni al contorno.
  4. Non si considera l'estensione del dominio delle funzioni al dominio delle distribuzioni.
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