Teoria ed elaborazione dei segnali/Serie e trasformata

Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A2. Serie e trasformata.

A1. Segnali e vettori	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A3. Proprietà trasformata

Base canonica

Funzione porta

8 <math>{\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)</math> è la funzione porta unitaria di supporto <math>\Delta t</math> centrato nell'origine. Un segnale <math>x \left( t \right)</math> può essere approssimato con un segnale <math> x' \left( t \right)</math> costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

<math>x \left( t \right) \approx x ' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

Se <math>\Delta t \rightarrow 0</math> l'approssimazione diventa un'identità:

<math>x \left( t \right) = x ' \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

Seno cardinale

<math>\mathrm{sinc} \left( t \right) \triangleq \frac{\sin{\left( \pi t \right)}}{\pi t}</math>

Delta di Dirac

10 Definizione

<math>x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( \tau \right) d \tau</math>

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

<math>\delta \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right)</math>

dove:

<math>\mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right) = \frac{\sin{\frac{t}{\Delta t}}}{\frac{t}{\Delta t}}</math>

Proprietà

• La delta di Dirac ha area unitaria:

  <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( \tau \right) d \tau = 1</math>

• Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione <math>x \left( t \right)</math>:

  <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = x \left( t \right)</math>

• 11 La delta di Dirac ha energia infinita:

  <math>E \left( \delta \right) \to + \infty</math>

Dimostrazione

{\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)</math>

14 Energia

<math>E \left( x \right) = \int x^2 \left( t \right) dt = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x^2 \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau</math>

Prodotto scalare

<math>\langle x , y \rangle = \int x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta \tau \right) y^* \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau</math>

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidale

Serie di Fourier

15 Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo <math>\left[ - \tfrac{T}{2} , \tfrac{T}{2} \right]</math>. La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

<math>x \left( t \right) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau</math>

16-17 Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_n w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}</math>

dove gli elementi della base <math>w_n \left( t \right)</math> (infiniti e numerabili) sono:

<math>w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}</math>

e i coefficienti <math>c_n</math> (complessi, infiniti e numerabili) sono:

<math>c_n = \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta</math>

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

<math>E \left( x \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| c_n \right|}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle \right|}^2</math>

Il segnale <math>x \left( t \right)</math> è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

<math>x \left( t \right) \Leftrightarrow {\left( c_n \right)}_{n = - \infty}^{+ \infty}</math>

18 La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n w_n' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n' \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}</math>

dove gli elementi della base <math>w_n' \left( t \right)</math> sono:

<math>w_n' \left( t \right) = \sqrt{T} w_n \left( t \right) = e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}</math>

e i coefficienti <math>{\mu}_n</math> sono:

<math>{\mu}_n = \frac{1}{\sqrt{T}} c_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta</math>

Usando questa base l'energia vale:

<math>E \left( x \right) = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| {\mu}_n \right|}^2</math>

Trasformata di Fourier

20-21 Segnali a supporto <math>T</math> infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

<math>x \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j2 \pi ft} df</math>

• <math>X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta</math>
• <math>x \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ X \left( f \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j 2 \pi f t} df</math>

Dimostrazione

^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j 2 \pi \frac{n}{T} \theta} d \theta \right] e^{j 2 \pi \frac{n}{T} t} =</math>

facendo tendere a infinito l'ampiezza del supporto <math>T</math> e considerando che la variabile discreta <math>T</math> diventa la variabile continua <math>f</math> (sequenza di infinitesimi <math>df</math>):

<math>= \begin{cases} \sum \longrightarrow \int \\

\Delta f = \frac{1}{T} \longrightarrow df \\ \frac{n}{T} \longrightarrow f \end{cases} \Rightarrow x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ df \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta \right] e^{j 2 \pi f t}</math> }}

22 Condizione di esistenza

Nel dominio delle funzioni, il segnale <math>x \left( t \right)</math> deve essere modulo integrabile:

<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x \left( t \right) \right| dt \in \R</math>

Alcune trasformate fondamentali

23 Delta di Dirac

<math>\mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1 \Rightarrow \delta \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ 1 \right\} = \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{j2 \pi ft} df</math>

Dimostrazione

24 Funzione segno

<math>\mathcal{F} \left\{ \sgn t \right\} = \frac{1}{j \pi f}</math>

Dimostrazione

{\pi fa} - \frac{j}{\pi f} = - \frac{j}{\pi f} = \frac{1}{j \pi f}</math>

}}

25 Funzione gradino

<math>U \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}</math>

Note

Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A2. Serie e trasformata.

A1. Segnali e vettori	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A3. Proprietà trasformata