Teoria ed elaborazione dei segnali/Segnali a tempo discreto

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A13. Medie temporali ed ergodicità	Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali)	B2. Campionamento e quantizzazione

L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

6 Un segnale <math>x \left( n T_c \right)</math> è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente <math>n</math> che assume solo valori interi (<math>n \in \Z</math>). Per semplicità si parla di <math>x \left( n T_c \right)</math> come la sequenza <math>x \left( n \right)</math>. Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

Classificazione

Durata di una sequenza

11 Una sequenza può avere:

• durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo <math>\left[ n_1 , n_2 \right]</math>;
• durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero (<math>\left( - \infty , + \infty \right)</math>) o monolatero (<math>\left[ n_1 , + \infty \right)</math> o <math>\left( - \infty, n_2 \right)</math>).

Causalità

12 Una sequenza è:

• casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
• anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

Parità

13 Una sequenza <math>x \left( n \right)</math> reale è detta:

• pari se <math>x \left( n \right) = x \left( - n \right)</math>;
• dispari se <math>x \left( n \right) = - x \left( - n \right)</math>.

14 Una sequenza <math>x \left( n \right)</math> complessa è detta:

• coniugata simmetrica se <math>x \left( n \right) = x^* \left( - n \right)</math>;
• coniugata antisimmetrica se <math>x \left( n \right) = - x^* \left( - n \right)</math>.

Una qualunque sequenza complessa <math>x \left( n \right)</math> può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica <math>x_p \left( n \right)</math> e di una sequenza coniugata antisimmetrica <math>x_d \left( n \right)</math>:

<math>x \left( n \right) = x_p \left( n \right) + x_d \left( n \right)</math>

dove:

<math>\begin{cases} x_p \left( n \right) = \frac{1}{2} x \left( n \right) + {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = x_p^* \left( -n \right) \\

x_d \left( n \right) = {1 \over 2} x \left( n \right) - {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = -x_d^* \left( - n \right) \end{cases}</math>

Dimostrazione

, \quad N \in \N</math>

Interseca l'asse orizzontale in <math>N</math>, <math>2N</math>, ecc.

25 Se <math>N = 1</math>, la sequenza <math>\mathrm{sinc} \left( n \right)</math> coincide con la delta di Kronecker.

Sequenza triangolo

26 <math>t_{2N + 1} \left( n \right) = \begin{cases} 1 - \frac{\left| n \right|}{N} , & \left| n \right| \leq N \\ 0 , & \left| n \right| > N \end{cases} , \quad N \in \N</math>

Sequenza esponenziale

27 <math>x \left( n \right) = a^n u \left( n \right)</math>

28 Se <math>a</math> è complesso:

<math>a = A e^{j \theta} \Rightarrow x \left( n \right) = A^n e^{j n \theta} u \left( n \right)</math>

Sinusoidi a tempo discreto

32 Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

<math>A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + 2 \pi k n + \theta \right)} = A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + \theta \right)} \quad k \in \Z</math>

33 Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

• <math>0 < f_0 < \tfrac{1}{2}</math>: aumenta all'aumentare di <math>f_0</math>;
• <math>\tfrac{1}{2} < f_0 < 1</math>: diminuisce all'aumentare di <math>f_0</math>.

34 Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto <math>N f_0</math> è un numero intero:

<math>x \left( n + N \right) = x \left( n \right) \Rightarrow A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + 2 \pi f_0 N + \theta \right)} = \cos{\left( 2 \pi f_0 n + \theta \right)} \quad N \in \Z</math>

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo <math>\tfrac{1}{f_0}</math>. Se <math>f_0</math> non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica (<math>N</math> dev'essere intero).

Operazioni elementari

Somma e prodotto

36 Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamento

37 Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile <math>n \to n - N</math>, dove <math>N \in \N</math> è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

<math>y \left( n \right) = x \left( n - N \right)</math>

Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile <math>n \to -n</math> e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

<math>y \left( n \right) = x \left( - n \right)</math>

39 L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

<math>x \left( n \right) \to x \left( n - N \right) \to x \left( -n -N \right)</math>

Scalamento temporale

40-41 Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza <math>y \left( n \right)</math> prendendo un campione ogni <math>D</math> della sequenza <math>x \left( n \right)</math>:

<math>y \left( n \right) = D x \left( n \right) \quad D \in \N</math>

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

42-43 Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza <math>y \left( n \right)</math> inserendo <math>I - 1</math> zeri tra ogni campione della sequenza <math>x \left( n \right)</math>:

<math>y \left( n \right) = \begin{cases} x \left( \frac{n}{I} \right) & \forall n = \ldots , - 2 I, - I , 0 , + I, +2I , \ldots \\

0 & \text{altrimenti} \end{cases}</math>

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineare

44 La convoluzione lineare tra due sequenze discrete <math>x \left( n \right)</math> e <math>y \left( n \right)</math> è definita:

<math>x \left( n \right) * y \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y \left( n - k \right)</math>

54 Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

• commutativa:

  <math>x \left( n \right) * y \left( n \right) = y \left( n \right) * x \left( n \right)</math>

• distributiva:

  <math>x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) + z \left( n \right) \right] = x \left( n \right) * y \left( n \right) + x \left( n \right) * z \left( n \right)</math>

• associativa:

  <math>x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) * z \left( n \right) \right] = \left[ x \left( n \right) * y \left( n \right) \right] * z \left( n \right)</math>

53 La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza media

Energia

58

<math>E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2</math>

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di <math>x \left( n \right)</math>:

<math>E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right |}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n - N \right) \right |}^2 \quad \forall N \in \Z</math>

63 L'energia di un segnale analogico <math>x \left( t \right)</math> è approssimabile alla sua sequenza <math>x \left( n T_c \right)</math> campionata a intervalli <math>T_c</math> molto piccoli:

<math>E_x = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \approx T_c \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2</math>

Potenza media

60 Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

<math>P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+N} {\left| x \left( n \right) \right|}^2</math>

• Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
• Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.

59 Esempio

La sequenza gradino unitario <math>u \left( n \right)</math> ha energia infinita ma potenza media finita:

<math>E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \sum_{n = 0}^{ + \infty} 1 \to + \infty</math>

<math>P_x = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+ N} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = 0}^{+N} 1 = \lim_{N \to + \infty} \frac{N + 1}{2N+1} = \frac{1}{2}</math>

61 La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo. La potenza media <math>P_x</math> di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

<math>P_x = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n \right) \right|}^2</math>

64 La potenza di un segnale analogico <math>x \left( t \right)</math> è approssimabile alla sua sequenza <math>x \left( n T_c \right)</math> campionata a intervalli <math>T_c</math> molto piccoli:

<math>P_x = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{\left( 2N+1 \right) \cancel{T_c}} \sum_{n = -N}^{+N} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}</math>

Inoltre, se il segnale è periodico:

<math>P_x = \frac{1}{T} \int_0^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \frac{1}{N \cancel{T_c}} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}</math>

Funzioni di correlazione

66-67-68-69	Mutua correlazione	Autocorrelazione
	<math>R_{xy} \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right)</math>	<math>R_x \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)</math>
Sequenze a potenza finita	<math>\Phi_{xy} \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k = - N}^{+N} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right)</math>	<math>\Phi_x \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{k = -N}^{+N} x^* \left( k+ n \right) x \left( k \right)</math>
Sequenze periodiche	<math>\Phi_{xy} \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1 } x^* \left( k+ n \right) y \left(k \right)</math>	<math>\Phi_x \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)</math>
Proprietà	se la sequenza è reale: <math>R_{xy} \left( n \right) = R_{yn} \left( - n \right)</math>	x \left( k \right) \right|}^2 = E_x</math>

Esempio: segnale radar

66 La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

76 L'eco <math>r \left( n \right)</math> di un segnale radar <math>x \left( t \right)</math> è del tipo:

<math>r \left( n \right) = \alpha x \left( n - D \right) + g \left( n \right)</math>

• <math>\alpha</math> è l'attenuazione del segnale;
• <math>D</math> è il ritardo del segnale;
• <math>g \left( n \right)</math> è il rumore.

77 La funzione di mutua correlazione <math>z \left( n \right)</math> ha un picco in <math>n = D</math> → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto: <math>d = \tfrac{D}{2} \cdot c</math>.

<math>x \left( n \right)</math>

<math>r \left( n \right)</math>

<math>z \left( n \right)</math>

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