Teoria ed elaborazione dei segnali/Proprietà trasformata

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A2. Serie e trasformata	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A4. Sistemi lineari

Convoluzione

12 L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

<math>z \left( t \right) = x \left( t \right) * y \left( t \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) y \left( t - \tau \right) d \tau</math>

16 La convoluzione tra due segnali <math>x \left( t \right)</math>, a supporto finito <math>\left[ -a , +a \right]</math> e <math>y \left( t \right)</math>, a supporto finito <math>\left[ -b, +b \right]</math>:

• ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: <math>\left[ - \left( b + a \right) , + \left( b + a \right) \right]</math>;
• riduce le discontinuità, e in particolare è di classe <math>C^{n+1}</math> se le due funzioni sono di classe <math>C^n</math>.

Convoluzione di porte

La convoluzione <math>z \left( t \right)</math> tra la porta <math>x \left( \tau \right) = {\Pi}_{2a} \left( \tau \right)</math> e la porta <math>y \left( \tau \right) = {\Pi}_{2b} \left( \tau \right)</math> ha supporto <math>2 \left( b + a \right)</math> ed è una funzione continua (classe <math>C^0</math>):

Se <math>a = b</math> la convoluzione <math>z \left( t \right)</math> è la funzione <math>2a \operatorname{tri} \left( \tfrac{t}{2a} \right)</math>:

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate <math>X \left( f \right)</math> e <math>Y \left( f \right)</math> non sono nulle:

Proprietà

17 Commutativa

<math>x \left( t \right) * y \left( t \right) = y \left( t \right) * x \left( t \right)</math>

Associativa

<math>x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) * w \left( t \right) \right] = \left[ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right] * w \left( t \right)</math>

Distributiva

<math>x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) + w \left( t \right) \right] = x \left( t \right) * y \left( t \right) + x \left( t \right) * w \left( t \right)</math>

Proprietà della delta di Dirac

Campionamento

20 La moltiplicazione di una funzione <math>x \left( t \right)</math> per una funzione delta <math>\delta \left( t - \tau \right)</math>, traslata di <math>\tau</math>, restituisce il campione di <math>x \left( t \right)</math> in <math>t = \tau</math>:

<math>x \left( t \right) \delta \left( t - \tau \right) = x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right)</math>

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo <math>x \left( t \right)</math> una qualsiasi funzione <math>y \left( t \right)</math> che assuma lo stesso valore in <math>t = \tau</math>, in particolare la funzione costante <math>y \left( t \right) = x \left( \tau \right)</math>.

Traslazione

La convoluzione di una funzione <math>x \left( t \right)</math> con una funzione delta <math>\delta \left( t - \tau \right)</math>, traslata di <math>\tau</math>, restituisce il segnale traslato:

<math>x \left( t \right) * \delta \left( t - \tau \right) = x \left( t - \tau \right)</math>

Dimostrazione

Proprietà della trasformata di Fourier

Linearità

3 La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:

<math>\mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}</math>

Anticipo o ritardo

4 La trasformata di Fourier del segnale <math>x \left( t \right)</math> ritardato o anticipato di una fase <math>\theta</math> vale:

<math>\mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}</math>

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (<math>\arg X \left( f \right) - 2 \pi \theta f</math>), mentre il modulo <math>\left| X \left( f \right) \right|</math> non varia.

Modulazione e traslazione

6 La modulazione del segnale <math>x \left( t \right)</math>, di una frequenza <math>f_0</math>, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)</math>

7 e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \sin { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2j} \left[ X \left( f - f_0 \right) - X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

Scalamento

7 Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( Kt \right) \right\} = \frac{1}{\left| K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)</math>

Relazioni di parità

10-11 Se il segnale <math>x \left( t \right)</math> è reale, allora la sua trasformata di Fourier <math>X \left( f \right)</math> ha le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale <math>\Re{\left\{ X \left( f \right) \right\}}</math> è pari:

  <math>\Re{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = \Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}</math>

• la parte immaginaria <math>\Im{\left\{ X \left( f \right) \right\}}</math> è dispari:

  <math>\Im{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = - \Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}</math>

• il modulo <math>\left| X \left( f \right) \right|</math> è pari:

  <math>{\left| X \left( f \right) \right|}^2 = {\Re}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} + {\Im}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} = \, \text{pari} \, \times \, \text{pari} \, + \, \text{dispari} \, \times \, \text{dispari} \, = \, \text{pari}</math>

• la fase <math>\arg{X\left( f \right)}</math> è dispari:

  <math>\arg{X \left( f \right)} = \mathrm{arctg} \frac{\Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}}{\Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}} = \mathrm{arctg} \left( \text{dispari} \right) = \, \text{dispari}</math>

Se il segnale <math>x \left( t \right)</math> è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

<math>X^* \left( - f \right) = X \left( f \right)</math>

Convoluzione e prodotto

12 La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

<math>Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)</math>

Derivazione ed integrazione

18 Derivazione

<math>\mathcal{F} \left\{ {\partial \over \partial t} x \left( t \right) \right\} = j2 \pi f X \left( f \right)</math>

<math>\mathcal{F} \left\{ {{\partial}^n \over \partial t^n} x \left( t \right) \right\} = {\left( j2 \pi f \right)}^n X \left( f \right)</math>

Integrazione

<math>\mathcal{F} \left\{ \int_{- \infty}^t x \left( r \right) dr \right\} = \frac{1}{2} X \left( 0 \right) \delta \left( f \right) + \frac{X \left( f \right)}{j2 \pi f}</math>

19 Dimostrazione

Dualità

22 <math>\mathcal{F} \left\{ X \left( t \right) \right\} = x \left( - f \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - f \right) \right\}</math>

Altre proprietà

23 Uguaglianza di Parseval

<math>E \left( x \right) = \int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \int {\left| X \left( f \right) \right|}^2 df</math>

Invarianza prodotto scalare

<math>\langle x \left( t \right), y \left( t \right) \rangle = \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle</math>

Diseguaglianza di Schwarz

<math>\left| \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle \right| \leq \left\| X \left( f \right) \right\| \left\| Y \left( f \right) \right\|</math>

Relazione tempo-frequenza

24 Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

25 Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:

• se la funzione <math>x \left( t \right)</math> ha supporto finito, la sua trasformata <math>X \left( f \right)</math> non ha supporto finito;
• se la funzione <math>X \left( f \right)</math> ha supporto finito, la sua antitrasformata <math>x \left( t \right)</math> non ha supporto finito.

26 Si definisce estensione temporale <math>d</math>:

<math>d^2 = \int t^2 \frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} dt</math>

Si definisce estensione di frequenza <math>D</math>:

<math>D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} df</math>

È possibile dimostrare che vale:

<math>d \cdot D \geq \frac{1}{2}</math>

27 L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

• tempo: <math>\frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}</math>
• frequenza: <math>\frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}</math>

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità	<math>\mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}</math>
Anticipo o ritardo	<math>\mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}</math>
Modulazione e traslazione	<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)</math>
Scalamento	K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)</math>
Relazioni di parità	X \left( f \right) \right| \, \text{sono pari} \\ \Im{ \left\{ X \left( f \right) \right\} } \, \text{e} \, \arg{X \left ( f \right)} \, \text{sono dispari} \end{cases}</math>
Convoluzione e prodotto	<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)</math>
Dualità	<math>\mathcal{F} \left\{ X \left( f \right) \right\} = x \left( - t \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - t \right) \right\}</math>

Esempi di trasformate

29 Funzione porta

<math>\mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right)</math>

30 Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore <math>r \left( t - i T \right)</math> viene moltiplicato per una opportuna costante <math>a_i</math>, e il segnale digitale <math>x \left( t \right)</math> sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

<math>x \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)}</math>

Per la proprietà del ritardo:

<math>\mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) e^{- j 2 \pi f i T}</math>

Per la proprietà di linearità:

<math>\mathcal{F} \left\{ \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \right\} = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i \mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) \sum_{- \infty}^{+ \infty} a_i e^{- j 2 \pi f i T} = Z \left( f \right)</math>

Siccome <math>R \left( t \right)</math> è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico <math>z \left( t \right)</math> non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore <math>r \left( t \right)</math> → l'ampiezza dello spettro <math>Z \left( t \right)</math> del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \left[ Z \left( f - f_0 \right) + Z \left( f - f_0 \right) \right]</math>

Note

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