Teoria ed elaborazione dei segnali/Processi casuali

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A8. Spettro di energia e segnali troncati	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A11. Stazionarietà

2-9 Un processo casuale è un'espressione matematica che descrive una classe di segnali (voce, video, dati...), tramite una o più variabili casuali che corrispondono alle caratteristiche della classe di segnali. Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

7 Un processo casuale <math>X \left( t \right)</math> è quasi determinato se è esprimibile in funzione di un insieme numerabile di variabili casuali.

5 Il verificarsi dell'evento <math>s_i</math> produce la realizzazione <math>x \left( t ; s_i \right)</math>; 6 fissato un certo <math>t_0</math>, si ottiene una serie di campioni <math>x \left( t_0, s_i \right)</math>.

• processi quasi determinati: segnale numerico, sinusoide, segnale sample & hold
• processi non quasi determinati: rumore termico, segnale vocale, segnale audio

Esempi di segnali quasi determinati

4 Segnale numerico	8 Segnale sample & hold	9 Sinusoide
<math>X \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} {\alpha}_i r \left( t - i T \right)</math>	<math>X_S \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( n T \right) h \left( t - n T \right)</math>	<math>X \left( t \right) = A \cos{\left( 2 \pi f t + \varphi \right)}</math>

13 I segnali determinati sono dei casi degeneri dei processi casuali, perché un segnale determinato è la manifestazione di un'unica realizzazione avente probabilità 1 (non ci sono variabili casuali).

Descrizione probabilistica

Statistiche

14-15 Consideriamo un processo casuale <math>X \left( t ; s \right)</math> contenente la sola variabile casuale <math>s</math> → a ogni valore <math>s_j</math> è associata una realizzazione <math>x \left( t ; s_j \right)</math> (con <math>j = 1, \ldots , M</math>).

Statistica di ordine 1

Fissato un tempo <math>t_1</math>, l'insieme dei campioni <math>x_1 = x \left( t_1, s_j \right)</math> costituisce l'insieme dei valori per la variabile casuale <math>X_1 = x \left( t_1 \right)</math>, per la quale è possibile definire la distribuzione cumulativa <math>F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)</math> e la densità di probabilità <math>f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)</math>:

<math>F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = P \left( X_1 < x_1 \right)</math>

<math>f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)</math>

Statistica di ordine n

Considerando <math>n</math> istanti di tempo <math>t_i</math>, si introduce una probabilità congiunta tra le <math>n</math> variabili casuali <math>X_i</math>:

<math>F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right) = F_{X_1 , \ldots , X_n } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = P \left( X_1 < x_1 , \ldots , X_n < x_n \right)</math>

<math>f_{\mathbf{X} } \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right) = f_{X_1 , \ldots , X_n } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = \frac{{\partial}^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right)</math>

Un processo casuale è completamente caratterizzato/descritto se si conoscono le statistiche di qualsiasi ordine (<math>n \to \infty</math>).

Media e autocorrelazione

16 Media d'insieme

<math>m_X \left( t \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) \right) = \int x f_X \left( x ; t \right) dx</math>

Funzione di autocorrelazione

<math>R_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( X \left( t_1 \right) X^* \left( t_2 \right) \right) = \iint x_1 x_2^* f_{X_1 , X_2} \left( x_1 , x_2 ; t_1 , t_2 \right) d x_1 d x_2</math>

Autocovarianza

<math>K_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left\{ \left[ X \left( t_1 \right) - m_X \left( t_1 \right) \right] \left[ X \left( t_2 \right) - m_X \left( t_2 \right) \right]^* \right\} = R_X \left( t_1 , t_2 \right) - m_X \left( t_1 \right) m_X^* \left( t_2 \right)</math>

Coefficiente di correlazione

<math>\rho_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq \frac{K_X \left( t_1 , t_2 \right)}{\sqrt{K_X \left( t_1 , t_1 \right) K_X \left( t_2 , t_2 \right)}}</math>

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