Teoria ed elaborazione dei segnali/Campionamento e quantizzazione

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B1. Segnali a tempo discreto	Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali)	B3. Trasformata di Fourier a tempo discreto

Quantizzazione

7 Un quantizzatore con risoluzione <math>n_q</math> suddivide l'intervallo di ampiezze <math>\left[ -V , V \right]</math> in un numero finito <math>L = 2^{n_q}</math> intervalli di ampiezza uniforme:

<math>\Delta = \frac{2V}{L}</math>

3-11 Al centro di ogni intervallo vi è un livello, che è rappresentato da una sequenza di <math>n_q</math> bit.

5-8-10 L'operazione di quantizzazione permette di rappresentare un segnale in forma numerica: ogni campione della sequenza reale <math>x \left[ n \right]</math> campionata viene approssimato al livello associato all'intervallo a cui appartiene:

<math>y = Q \left[ x \left( n T_c \right) \right] = \begin{cases} -V + \frac{1}{2} \Delta & \text{se } x \left( n T_c \right) \in \left( -V , -V + \Delta \right) \\

-V + \frac{3}{2} \Delta & \text{se } x \left( n T_c \right) \in \left( -V + \Delta , -V + 2 \Delta \right) \\ \vdots & \vdots \\ V - \frac{3}{2} \Delta & \text{se } x \left( n T_c \right) \in \left( V - 2 \Delta , V - \Delta \right) \\ V - \frac{1}{2} \Delta & \text{se } x \left( n T_c \right) \in \left( V - \Delta , V \right) \end{cases}</math>

9 La caratteristica ingresso/uscita di un quantizzatore <math>Q</math> è una scalinata a <math>L</math> livelli:

Errore di quantizzazione

13 Si definisce errore (o rumore) di quantizzazione <math>\varepsilon_Q \left[ n \right]</math> la differenza fra un campione reale <math>x \left[ n \right]</math> e la sua versione quantizzata <math>x_Q \left[ n \right]</math>:

<math>\varepsilon_Q \left[ n \right] = x \left[ n \right] - x_Q \left[ n \right]</math>

Rapporto segnale rumore

13 La qualità del segnale quantizzato è espressa in termini del rapporto segnale rumore <math>\text{SNR}</math>:

<math>\text{SNR}_Q = \frac{P_S}{P_N}</math>

14-17 dove:

• <math>P_S</math> è la potenza del segnale non ancora quantizzato <math>x \left[ n \right]</math>:

  <math>P_S = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = -N}^N {\left| x \left[ n \right] \right|}^2 = \frac{V^2}{3}</math>

• <math>P_N</math> è la potenza del rumore di quantizzazione <math>\varepsilon_Q \left[ n \right]</math>:

  <math>P_N = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = -N}^N {\left| \varepsilon_Q \left[ n \right] \right|}^2 = \frac{\Delta^2}{12}</math>

Dimostrazione

^Template:\Delta \over 2 \varepsilon^2 d \varepsilon = \frac{\Delta^2}{12}</math>

e la potenza del segnale <math>x \left[ n \right]</math>:

<math>P_S = \frac{1}{2V} \int_{-V}^V x^2 dx = \frac{1}{2V} \left. \frac{x^3}{3} \right \vert_{-V}^V = \frac{V^2}{3}</math>

}}

18 Assumendo che la dinamica del quantizzatore <math>D</math> sia uguale alla dinamica del segnale (<math>D = 2V</math>), si ricava che il rapporto segnale rumore <math>\text{SNR}</math> si riduce all'aumentare del numero di livelli <math>L</math>:

<math>\text{SNR}_Q = L^2</math>

Dimostrazione

{\frac{\Delta^2}{12}} = 4 \frac{V^2}{4 \frac{V^2}{L^2}} = L^2</math>

}}

Ogni bit aggiuntivo di risoluzione incrementa di 6 dB il rapporto segnale rumore:

<math>\left. \text{SNR}_Q \right \vert_{\text{dB}} \cong 6 n_Q</math>

Dimostrazione

<math>\left. \text{SNR}_Q \right \vert_{\text{dB

= 10 \log_{10} {\left( L^2 \right)} = 10 \log_{10} {\left( 2^{2 n_Q} \right)} = n \cdot 20 \log_{10} {2} \cong 6 n_Q</math>

}}

21 Se invece la dinamica del quantizzatore <math>D</math> è sganciata da quella del segnale (<math>D < 2V</math>), compare un addendo logaritmico:

<math>\left. \text{SNR}_Q \right \vert_{\text{dB}} \cong 6 n_Q + 10 \log_{10} \left( \frac{4V^2}{D^2} \right)</math>

Dimostrazione

= 10 \log_{10} \frac{P_S}{P_N} = 10 \log_{10} \left( \frac{V^2}{3} {12L^2 \over D^2} \right) = 10 \log_{10} \left( L^2 \right) + 10 \log_{10} \left( \frac{4V^2}{D^2} \right) \cong 6 n_Q + 10 \log_{10} \left( \frac{4V^2}{D^2} \right)</math>

}}

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