Teoria e progetto di costruzioni e strutture/Esercizi svolti

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Teoria e progetto di costruzioni e strutture

Questa pagina raccoglie gli esercizi svolti del corso di Teoria e progetto di costruzioni e strutture.

Geometria delle aree

Esercizio 1

Testo e dati

a = 60 mm
b = 180 mm
c = 360 mm

f_y = ± 80 MPa
γ = 2

Soluzione

{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(I_{xx} - I_{yy})^2 + 4 \cdot I_{xy}^2} = \\ & = \frac{140\,400\,000 + 561\,600\,000}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(140\,400\,000 - 561\,600\,000)^2 + 4 \cdot 194\,400\,000^2} = 637\,607\,257\,mm^4 \end{align} </math>

<math> I_{\eta \eta} = \frac{I_{xx} + I_{yy}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{(I_{xx} - I_{yy})^2 + 4 \cdot I_{xy}^2} = ... = 64\,392\,742\,mm^4 </math>

<math> \alpha = \frac{1}{2} \arctan \left( - \frac{2 \cdot I_{xy} }{I_{xx} - I_{yy} } \right) = 21,35^\circ </math>

<math> \alpha < 45^\circ </math>     e     <math> I_{xx} < I_{yy} \longrightarrow I_{\xi \xi} = I_{vv} </math>

Calcolo tensione ammissibile

<math> \overline{AH} = distanza\ da\ A\ a\ G </math>

<math> \overline{BH} = distanza\ da\ B\ a\ G </math>

<math> \overline{BH} = \frac{360}{2} \cdot cos \ 31{,}35^\circ + \left( 180 - \frac{60}{2} \right) \cdot sen \ 31{,}35^\circ = 222{,}26\,mm </math>

<math> \overline{AH} = - \overline{BH} = - 222{,}26\,mm </math>

<math> \sigma_{adm} = \frac{M}{I_{\xi \xi}} \cdot \overline{BH} </math>

si applica la formula inversa:

<math> M_{max} = \frac{\sigma_{adm} \cdot I_{\xi \xi}}{\overline{BH}} = \frac{40 \cdot 637\,607\,257}{222{,}26} = 114\,749\,798\, N \cdot mm^2 </math>

<math> \sigma_{B} = \frac{M \cdot \overline{BH}}{I_{\xi \xi}} = \frac{M \cdot 222{,}26}{637\,607\,257} = 3{,}48 \cdot 10^{-7} \cdot M </math>

<math> \sigma_{A} = \frac{M \cdot \overline{AH}}{I_{\xi \xi}} = \frac{M \cdot ( - 222{,}26)}{637\,607\,257} = - 3{,}48 \cdot 10^{-7} \cdot M </math>

<math> \sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot \overline{BH}}{I_{\xi \xi}} = 40\,MPa </math> }}

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