Teoria ed elaborazione dei segnali/Sistemi LTI a tempo discreto

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B5. Analisi in frequenza di segnali a tempo continuo campionati	Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali)	B7. Trasformata zeta

Classificazione dei sistemi a tempo discreto

3 Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:

<math>y \left( n \right) = L \left[ x \left( n \right) \right]</math>

Sistemi lineari

4 Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:

<math>L \left[ \alpha_1 x_1 \left( n \right) + \alpha_2 x_2 \left( n \right) \right] = \alpha_1 L \left[ x_1 \left( n \right) \right] + \alpha_2 L \left[ x_2 \left( n \right) \right]</math>

Sistemi tempo-invarianti o stazionari

7 Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo <math>n_0</math> sull'ingresso <math>x \left( n \right)</math> si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita <math>y \left( n \right)</math> senza che cambi la forma del segnale di uscita <math>y \left( n \right)</math>:

<math>L \left[ x \left( n - n_0 \right) \right] = y \left( n - n_0 \right) \quad \forall n_0</math>

Sistemi passivi

18 Un sistema è passivo se a un ingresso <math>x \left( n \right)</math> con energia finita <math>E_x</math> corrisponde un segnale <math>y \left( n \right)</math> con energia <math>E_y</math> minore o uguale all'energia dell'ingresso:

<math>E_y = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| y \left( n \right) \right|}^2 \leq E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2 \in \R </math>

Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math> viene conservata:

<math>E_y = E_x</math>

Sistemi causali

12 Un sistema è causale se l'uscita <math>y \left( n \right)</math> non dipende dai valori futuri dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math>, ma solo da quelli passati e da quello corrente.

14 Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, 15 che esprime l'uscita <math>y \left( n \right)</math> all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito <math>a_0 = 1</math>):

<math>a_0 y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^{M} a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k=0}^N b_k x \left( n - k \right) = - a_1 y \left( n - 1 \right) - a_2 y \left( n - 2 \right) - \ldots - a_M y \left( n - M \right) + b_0 x \left( n \right) + b_1 x \left( n - 1 \right) + b_2 x \left( n - 2 \right) + \ldots + b_N x \left( n - N \right)</math>

• Il sistema è ricorsivo se l'uscita <math>y \left( n \right)</math> dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
• Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti <math>a_i</math> sono nulli.

20-21 L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di <math>y \left( n \right)</math> per <math>n \geq 0</math>, noti i valori di <math>x \left( n \right)</math> e le condizioni iniziali <math>y \left( - 1 \right) , \ldots , y \left( - M \right)</math>:

<math>y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k = 0}^N b_k x \left( n - k \right) = y_{\text{so}} \left( n \right) + y_{\text{io}} \left( n \right)</math>

Risposta forzata

<math>y_{\text{so}} \left( n \right)</math> è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:

<math>y_{\text{so}} \left( n \right) = - \sum_{k = 0}^M a_k y_{\text{so}} \left( n - k \right) + \sum_{k = 0}^{N} b_k x \left( n -k \right)</math>

Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).

Risposta libera

22 <math>y_{\text{io}}</math> è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:

<math>\begin{cases} y_{\text{io}} \left( n \right) = - \sum_{k = 0}^M a_k y \left( n-k \right) \\

y_{\text{io}} \left( k \right) = y \left( k \right) \quad k = - M , \ldots , -1 \end{cases}</math>

Per sistemi LTI stabili, <math>y_{\text{io}} \left( n \right)</math> è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.

Sistemi senza memoria

16 Un sistema è senza memoria se l'uscita <math>y \left( n \right)</math> dipende solo dal valore corrente dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math>.

17 Il sistema non ricorsivo:

<math>y \left( n \right) = \sum_{k=0}^N a_k x \left( n - k \right)</math>

ha memoria pari a <math>N</math>, perché l'uscita <math>y \left( n \right)</math> dipende anche da <math>N</math> valori passati dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math>.

Sistemi LTI

Risposta all'impulso

24 I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math>, che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza <math>x \left( n \right) = \delta \left( n \right)</math>:

<math>h \left( n \right) = L \left[ \delta \left( n \right) \right]</math>

27 La risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> lega l'ingresso <math>x \left( n \right)</math> e l'uscita <math>y \left( n \right)</math> del sistema:

<math>y \left( n \right) = x \left( n \right) * h \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h \left( i \right) x \left( n - i \right)</math>

25-26-27 Dimostrazione

Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove <math>b_k = h \left( k \right)</math>.

28 L'uscita del sistema dipende dai contributi causale (<math>i \geq 0</math>) e anticausale (<math>i < 0</math>):

<math>y \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h \left( i \right) x \left( n - i \right) = \sum_{i = - \infty}^{-1} h \left( i \right) x \left( n - i \right) + \sum_{i = 0}^{+ \infty} h \left( i \right) x \left( n - i \right)</math>

Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla:

<math>y \left( n \right) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} h \left( i \right) x \left( n - i \right)</math>

Risposta in frequenza

34 Ipotesi

• <math>x \left( n \right)</math> e <math>h \left( n \right)</math> sono trasformabili mediante DTFT;
• si trascura la risposta al transitorio <math>y_{\text{so}} \left( n \right)</math>.

35 La DTFT del segnale in uscita <math>y \left( n \right)</math> è pari al prodotto delle DTFT del segnale in ingresso <math>x \left( n \right)</math> e della risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> del sistema LTI:

<math>Y \left( e^{j \omega} \right) = H \left( e^{j \omega} \right) \cdot X \left( e^{j \omega} \right)</math>

Dimostrazione

39 La DTFT <math>H \left( e^{j \omega} \right)</math> della risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> è detta risposta in frequenza del sistema LTI:

<math>H \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h \left( i \right) e^{-j \omega i} = \frac{Y \left( e^{j \omega} \right)}{X \left( e^{j \omega} \right)}</math>

Interconnessione di sistemi LTI

74-75 Serie		<math>y \left( n \right) = x \left( n \right) * h_1 \left( n \right) * h_2 \left( n \right)</math> <math>Y \left( e^{j \omega} \right) = X \left( e^{j \omega} \right) H_1 \left( e^{j \omega} \right) H_2 \left( e^{j \omega} \right)</math>
76-77 Parallelo		<math>y \left( n \right) = x \left( n \right) * \left[ h_1 \left( n \right) + h_2 \left( n \right) \right]</math> <math>Y \left( e^{j \omega} \right) = X \left( e^{j \omega} \right) \left[ H_1 \left( e^{j \omega} \right) + H_2 \left( e^{j \omega} \right) \right]</math>
78 Con reazione		<math>y \left( n \right) = \left[ x \left( n \right) - y \left( n \right) * h_2 \left( n \right) \right] * h_1 \left( n \right)</math> <math>Y \left( e^{j \omega} \right) = X \left( e^{j \omega} \right) \frac{H_1 \left( e^{j \omega} \right)}{1 + H_1 \left( e^{j \omega} \right) H_2 \left( e^{j \omega} \right)}</math>

Risposta a esponenziali complessi

50 Gli esponenziali complessi sono delle autofunzioni dei sistemi LTI, perché a un ingresso a esponenziale complesso corrisponde ancora un'uscita a esponenziale complesso:

<math>x \left( n \right) = e^{j \omega_0 n} \Rightarrow y \left( n \right) = e^{j \omega_0 n} H \left( e^{j \omega_0} \right) = \left| H \left( e^{j \omega0} \right) \right| \cdot e^{j \omega_0 n + j \arg{\left[ H \left( e^{j \omega_0} \right) \right]} }</math>

49 Dimostrazione

53 Se la risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> è reale, e la sinusoide <math>x \left( n \right)</math> è reale:

<math>x \left( n \right) = \cos{\left( \omega_0 n + \theta \right) } \Rightarrow y \left( n \right) = \left| H \left( e^{j \omega_0} \right) \right| \cos{\left( \omega_0 n + \theta + \arg{ \left[ H \left( e^{j \omega_0} \right) \right] } \right)}</math>

Dimostrazione

H \left( e^{j \omega_0} \right) \right

+ e^{- j \theta} \left| H \left( e^{- j \omega_0} \right) \right| \cdot e^{-j \omega_0 n + j \arg{\left[ H \left( e^{-j \omega_0} \right) \right] }} \right\} =</math>

53 Ricordando le proprietà di simmetria della DTFT della sequenza reale <math>h \left( n \right)</math> (modulo pari e fase dispari):

<math>= \frac{1}{2} \left| H \left( e^{j \omega_0} \right) \right| \left\{ e^{j \theta} e^{j \omega_0 n + j \arg{\left[ H \left( e^{j \omega_0} \right) \right]}} + e^{-j \theta} e^{-j \omega_0 n - j \arg{\left[ H \left( e^{j \omega_0} \right) \right]}} \right\}</math>

}}

Sistemi IIR

54-56 L'uscita <math>y \left( n \right)</math> di un sistema IIR dipende non solo dal segnale in ingresso <math>x \left( n \right)</math>, ma anche dai campioni del segnale in uscita <math>y \left( n \right)</math>:

<math>y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k = 0}^N b_k x \left( n - k \right) \Rightarrow Y \left( e^{j \omega} \right) = X \left( e^{j \omega} \right) \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_k e^{-j \omega k} }{1 + \sum_{k = 1}^M a_k e^{-j \omega k}}</math>

La risposta in frequenza <math>H \left( e^{j \omega} \right)</math> del sistema si può scrivere:

<math>H \left( e^{j \omega} \right) = \frac{Y \left( e^{j \omega} \right)}{X \left( e^{j \omega} \right)} = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_k e^{-j \omega k} }{1 + \sum_{k = 1}^M a_k e^{-j \omega k}}</math>

Sistemi IIR puramente ricorsivi

56 Un sistema IIR è puramente ricorsivo se:

<math>y \left( n \right) = x \left( n \right) - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) \quad b_k = 0 \; \forall k \neq 0</math>

57 La risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> di un sistema IIR puramente ricorsivo è a supporto illimitato.

Esempio: risposta all'impulso di un sistema IIR puramente ricorsivo

<math>y \left( n \right) = \frac{1}{3} y \left( n -1 \right) + x \left( n \right) \Rightarrow h \left( n \right) = {\left( \frac{1}{3} \right)}^n u \left( n \right)</math>

Calcoli

</math>

}}

Sistemi FIR

55 L'uscita <math>y \left( n \right)</math> di un sistema FIR dipende solo dal segnale d'ingresso <math>x \left( n \right)</math>:

<math>- \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) = 0 \Rightarrow y \left( n \right) = \sum_{k = 0}^N b_k x \left( n - k \right)</math>

<math>H \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{k = 0}^{N} b_k e^{-j \omega k}</math>

La risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> di un sistema FIR è a supporto finito <math>\left[ 0 , N \right]</math>:

<math>h \left( n \right) \triangleq \sum_{k = 0}^N b_k \delta \left( n - k \right) = b_0 \delta \left( n \right) + b_1 \delta \left( n - 1 \right) + \ldots + b_N \delta \left( n - N \right)</math>

Stabilità

61 Un sistema è stabile secondo il criterio BIBO (o BIBO-stabile) se e solo se ad ogni ingresso <math>x \left( n \right)</math> di ampiezza limitata corrisponde un'uscita <math>y \left( n \right)</math> di ampiezza limitata:

<math>\left| x \left( n \right) \right| \in \R \Leftrightarrow \left| y \left( n \right) \right| \in \R</math>

La risposta al transitorio di un sistema BIBO-stabile tende a smorzarsi al crescere di <math>n</math>.

Teorema

Un sistema LTI è BIBO-stabile se e solo se la sua risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> è sommabile in modulo:

<math>\text{stabile } \Leftrightarrow \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in \R</math>

Dimostrazione condizione sufficiente

h \left( n \right) \right

Dimostrazione condizione necessaria

h \left( n \right) \right

</math>

</math>

Si introduce come ingresso <math>x \left( n \right)</math> una porta:

<math>x \left( n \right) = u \left( n \right) - u \left( n - N \right) \Rightarrow X \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) e^{- j \omega n} = \frac{\sin{\left( \pi f N \right)}}{\sin{ \left( \pi f \right) }} e^{-j \pi f \left( N - 1 \right)}</math>

<math>x \left( n \right)</math>

</math>

Il filtro passa-basso smorza le alte frequenze. L'uscita <math>y_i \left( n \right)</math> appare più simile all'ingresso <math>x \left( n \right)</math> con il filtro <math>h_3 \left( n \right)</math>:

</math>

<math>y_1 \left( n \right)</math>

<math>y_2 \left( n \right)</math>

<math>y_3 \left( n \right)</math>

48 L'ingresso <math>x \left( n \right)</math> risulta quindi meno smorzato con il filtro <math>h_3 \left( n \right)</math>:

<math>E \left( x \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x^2 \left( n \right) = \sum_{n = 0}^{N-1} 1 = N = 11</math>

<math>E \left( y_1 \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} y_1^2 \left( n \right) \cong 8</math>

<math>E \left( y_2 \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} y_2^2 \left( n \right) \cong 9,7</math>

<math>E \left( y_3 \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} y_3^2 \left( n \right) \cong 10,6</math>

Questo sistema LTI è di tipo passivo perché l'energia dell'uscita <math>y_i \left( n \right)</math> è sempre minore dell'energia dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math>.

Distorsione

• 69 Se il modulo della risposta in frequenza <math>\left| H \left( e^{j \omega} \right) \right|</math> non è costante, il sistema introduce una distorsione in ampiezza.
• Se la fase della risposta in frequenza <math>\arg{\left[ H \left( e^{j \omega} \right) \right]}</math> non è lineare in <math>\omega = 2 \pi f</math>, il sistema introduce una distorsione di fase.

71 Si definisce ritardo di gruppo <math>\tau \left( \omega \right)</math> il ritardo medio subito dalle componenti armoniche del segnale in ingresso <math>x \left( n \right)</math>:

<math>\tau \left( \omega \right) = - \frac{d}{d \omega} \arg{\left[ H \left( e^{j \omega} \right) \right]}</math>

Sistema LTI non distorcente

67 Si vuole realizzare un amplificatore non distorcente:

<math>y \left( n \right) = A \cdot x \left( n - N \right)</math>

dove:

• <math>N</math> è il tempo impiegato dal segnale in ingresso <math>x \left( n \right)</math> per attraversare il sistema (ritardo);
• <math>A</math> è l'amplificazione.

68 La sua risposta in frequenza <math>H \left( e^{j \omega} \right)</math>:

<math>H \left( e^{j \omega} \right) = \frac{Y \left( e^{j \omega} \right)}{X \left( e^{j \omega} \right)} = A e^{- j \omega N}</math>

ha:

• modulo <math>A</math> costante;
• rotazione di fase <math>- \omega N</math> lineare in <math>\omega</math>.

La sua risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math>:

<math>h \left( n \right) = A \delta \left( n - N \right)</math>

è una delta di ampiezza <math>A</math> centrata in <math>N</math>.

71 Se il ritardo di gruppo <math>\tau \left( \omega \right)</math> è costante, cioè le componenti armoniche nel segnale di ingresso <math>x \left( n \right)</math> subiscono lo stesso ritardo costante, allora la fase è lineare e il sistema è non distorcente.

Analisi tramite DFT

80 L'uscita <math>y \left( n \right)</math> di un sistema LTI si può ottenere dalla IDTFT del prodotto tra la DTFT dell'ingresso <math>x \left( n \right)</math> e la risposta in frequenza <math>H \left( e^{j \omega} \right)</math>:

<math>Y \left( e^{j \omega} \right) = X \left( e^{j \omega} \right) \cdot H \left( e^{j \omega} \right) \Rightarrow y \left( n \right) = x \left( n \right) * h \left( n \right) \quad n \in \left[ 0 , N_x + N_h - 2 \right]</math>

dove <math>N_x</math> e <math>N_h</math> sono i supporti rispettivamente di <math>x \left( n \right)</math> e <math>h \left( n \right)</math>.

Se si vuole sostituire la DTFT con la DFT, la IDFT non restituisce lo stesso risultato:

<math>Y \left( k \right) = X \left( k \right) \cdot H \left( k \right) \Rightarrow y \left( n \right) \neq x \left( n \right) \otimes h \left( n \right) \quad n \in \left[ 0 , \max{\left\{ N_x , N_h \right\}} -1 \right]</math>

perché la convoluzione circolare ha un supporto diverso dalla convoluzione lineare.

81-82 Per far sì che il risultato coincida con la convoluzione lineare, occorre procedere all'inserimento di zeri (zero padding) nelle due sequenze <math>x \left( n \right)</math> e <math>h \left( n \right)</math>, in numero tale da garantire la lunghezza di una convoluzione lineare:

<math>x_z \left( n \right) = \begin{cases} x \left( n \right) & n \in \left[ 0 , N_x - 1 \right] \\

0 & n \in \left[ N_x , N_x + N_h - 2 \right] \end{cases}</math>

<math>h_z \left( n \right) = \begin{cases} h \left( n \right) & n \in \left[ 0 , N_h - 1 \right] \\

0 & n \in \left[ N_h , N_x + N_h - 2 \right] \end{cases}</math>

84 In questo modo la convoluzione circolare ottenuta dalla IDFT coincide con la convoluzione lineare, e quindi con l'uscita del sistema <math>y \left( n \right)</math>:

<math>x_z \left( n \right) \otimes h_z \left( n \right) = x \left( n \right) * h \left( n \right) = y \left( n \right) \quad n = 0 , \ldots , N_x + N_h - 2</math>

83 Dimostrazione

86 Se il supporto <math>N_y = N_x + N_h - 1</math> viene scelto come potenza di 2, si può impiegare la FFT per il calcolo delle 3 DFT, con complessità finale proporzionale a <math>N_y \log_2{\left( N_y \right)}</math>, invece della complessità dell'ordine di <math>N_h N_x</math> operazioni per il calcolo della convoluzione nel dominio del tempo.

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