Controlli automatici/Stabilità esterna e risposta a regime

Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è E22. Stabilità esterna e risposta a regime.

D21. Stima dello stato e regolatore dinamico	Controlli automatici (E. Stabilità esterna e analisi della risposta)	E23. Risposte di sistemi del I e II ordine

7 Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:

• la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
• la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato <math>A</math> compaiono come poli della funzione di trasferimento.

Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI

11 Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso <math>u \left( t \right)</math> limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:

<math>\forall \bar u \in \left( 0 , + \infty \right) , \; \exists \bar y \in \left( 0 , + \infty \right) : \; \left\| u \left( t \right) \right\| \leq \bar u , \; \forall t \geq 0 \Rightarrow \left\| y \left( t \right) \right\| \leq \bar y , \; \forall t \geq 0</math>

12 Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:

• a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math>, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli <math>p</math> con parte reale <math>\Re{\left\{ p \right\}} < 0 , \; \forall p</math>;
• a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento <math>H \left( z \right)</math>, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli <math>p</math> con modulo <math>\left| p \right| < 1 , \; \forall p</math>.

13 La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

Risposta in regime permanente

17 Il movimento <math>x(t)</math> di un sistema dinamico LTI proprio:

<math>\begin{cases} \dot x (t) = A x(t) + B u(t) \\ y (t) = C x(t) \end{cases}</math>

può essere espresso come:

<math>x(t) = x_{\text{omog}} (t) + x_{\text{part}} (t)</math>

• <math>x_{\text{omog}} (t)</math> è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui <math>u(t) = 0</math> (corrisponde all'evoluzione libera dello stato <math>x_\ell (t)</math> per un opportuno stato iniziale <math>x_\ell \left( t = 0 \right)</math>);
• <math>x_{\text{part}} (t)</math> è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso <math>u(t)</math> applicato.

21 Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta <math>y(t)</math> ad un qualsiasi ingresso <math>u(t)</math> può essere allora espressa come:

<math>y(t) = \underbrace{C x_{\text{omog}} (t)}_{y_{\text{omog}} (t)} + \underbrace{C x_{\text{part}} (t) }_{y_{\text{part}} (t)} = y_{\text{omog}} (t) + y_{\text{part}} (t)</math>

• un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine <math>y_{\text{omog}} (t)</math>;
• una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine <math>y_{\text{part}} (t)</math>.

18 Il termine <math>y_{\text{omog}} (t)</math> è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:

<math>\lim_{t \to + \infty} y_{\text{omog}} (t) = 0 \Rightarrow \lim_{t \to + \infty} y (t) = y_{\text{part}} (t)</math>

Il termine <math>y_{\text{part}} (t)</math> dipende dal particolare ingresso <math>u(t)</math> applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:

• 19 ingresso costante <math>u(t) = \bar u \cdot \varepsilon (t)</math>:

  <math>y_{\text{part}} (t) = \bar y \varepsilon (t) , \quad \bar y = H \left( 0 \right) \bar u = - C {A}^{-1} B \bar u</math>

• 20 ingresso sinusoidale <math>u(t) = \bar u \sin{\left( \omega_0 t + \theta_0 \right)} \varepsilon (t)</math>:

  <math>y_{\text{part}} (t) = \bar y \sin{\left( \omega_0 t + \varphi \right)} \varepsilon (t) , \quad \begin{cases} \bar y = \left| H \left( j \omega_0 \right) \right| \cdot \bar u \\ \varphi = \arg{H \left( j \omega_0 \right)} + \theta_0 \end{cases}</math>

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