Controlli automatici/Sistemi di controllo digitali

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Sistema di controllo digitale[modifica | modifica sorgente]

1 Schema base di un sistema di controllo digitale

Campionatore[modifica | modifica sorgente]

2 Il campionatore è un convertitore A/D che genera in uscita la sequenza di campioni <math>\left\{ e_k \right\}</math> con passo di campionamento <math>T</math> a partire dall'errore di inseguimento <math>e(t)</math>:

  • nel dominio del tempo:
    <math>e^* (t) = e(t) \sum_{k=0}^{+ \infty} \delta \left( t-kT \right) = \sum_{k=0}^{+ \infty} e_k \cdot \delta \left( t-kT \right)</math>
  • nel dominio della trasformata zeta:
    <math>\mathcal{Z} \left\{ \left\{ e_k \right\} \right\} = E^* \left( z \right) = \sum_{k=0}^{+ \infty} e_k \cdot z^{-k}</math>
  • nel dominio della trasformata di Laplace:
    <math>\mathcal{L} \left\{ e^* \left( t \right) \right\} = E^* (s) = \sum_{k=0}^{+ \infty} e_k \cdot e^{-kTs} = {\left. E^* (z) \right|}_{z = e^{sT}}</math>

4 Il passo di campionamento <math>T</math> deve essere sufficientemente piccolo:

  • il teorema del campionamento impone una pulsazione di campionamento <math>\omega_s</math> maggiore del doppio della pulsazione di banda <math>\omega_B</math>:
    <math>\omega_s \gg \omega_B</math>
  • la riduzione del margine di fase <math>m_\varphi</math> introdotta dal ricostruttore deve essere contenuta:
    <math>\omega_s \gg \omega_c</math>

Il passo di campionamento <math>T</math> non deve essere troppo piccolo, per non incorrere in:

  • problemi di quantizzazione;
  • necessità di utilizzare processori costosi per garantire elevate prestazioni.

Ricostruttore[modifica | modifica sorgente]

Ricostruzione del segnale tramite un filtro Z.O.H.

5 Il ricostruttore è un convertitore D/A che genera il comando <math>u(t)</math> a partire dalla sua sequenza di campioni <math>\left\{ u_k \right\}</math>. Il filtro Z.O.H. di ordine zero mantiene nell'intervallo <math>T</math> il comando <math>u(t)</math> pari al valore dell'ultimo campione acquisito. La funzione di trasferimento del filtro Z.O.H. si può approssimare a una funzione razionale tramite l'approssimazione di Padè del I ordine:

<math>H_0 (s) = \frac{U(s)}{U^* (s)} = \frac{1- e^{-sT}}{s} \cong \frac{T}{1+ s \frac{T}{2}}</math>
Dimostrazione

{s}</math>

è pari alla sua funzione di trasferimento:

  • all'ingresso:
    <math>U^* (z) = \sum_{k=0}^{+ \infty} u_k z^{-k} \Rightarrow U^* (s) = \sum_{k=0}^{+ \infty} u_k e^{-ksT}</math>
  • all'uscita:
    <math>U(s) = \mathcal{L} \left\{ \sum_{k=0}^{+ \infty} u_k h_0 \left( t-kT \right) \right\} = \sum_{k=0}^{+ \infty} u_k H_0 (s) e^{-kTs}</math>

Approssimando il termine esponenziale della funzione di trasferimento <math>H_0 (s)</math>:

<math>e^{-sT} \approx \frac{1-s \frac{T}{2}}{1+s \frac{T}{2}} \Rightarrow H_0 (s) = \frac{1- e^{-sT}}{s} \approx \frac{1}{s} \left( 1- \frac{1- s \frac{T}{2}}{1+ s \frac{T}{2}} \right) = \frac{\cancel{1} + \cancel{s} \frac{T}{2} - \cancel{1} + \cancel{s} \frac{T}{2}}{\cancel{s} \left( 1 + s \frac{T}{2} \right)} = \frac{T}{1+ s \frac{T}{2}}</math>

}}

6 La funzione di trasferimento <math>H_0 (s)</math> del filtro Z.O.H. ha un polo in <math>- \tfrac{2}{T}</math> che crea una perdita di fase in corrispondenza della pulsazione di taglio <math>\omega_c</math>, cioè una riduzione del margine di fase <math>m_\varphi</math>. Riducendo via via il passo di campionamento <math>T</math>, il polo si sposta ad una pulsazione sufficientemente elevata rispetto alla pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> con conseguente riduzione della perdita del margine di fase <math>m_\varphi</math>.

Controllore digitale[modifica | modifica sorgente]

3 Il controllore digitale è definito dalla sua funzione di trasferimento <math>C(z)</math> nel dominio della trasformata zeta, che è calcolabile tramite un metodo di discretizzazione a partire dalla funzione <math>C(s)</math> del controllore analogico.

7 Metodi di approssimazione dell'integrazione nel tempo
  • metodo delle differenze all'indietro: approssima mantenendo costante l'ultimo campione:
    metodo non valido: genera forti distorsioni
  • metodo delle differenze in avanti: approssima mantenendo costante il prossimo campione:
    metodo non valido: non garantisce la stabilità di <math>C(z)</math> ottenuta a partire da <math>C(s)</math> stabile
  • trasformazione bilineare (o di Tustin): approssima tramite trapezi:
    metodo valido: genera distorsioni ridotte, e garantisce la stabilità di <math>C(z)</math> ottenuta a partire da <math>C(s)</math> stabile
  • trasformazione bilineare con precompensazione in frequenza: precalcola e compensa la distorsione alla pulsazione di taglio <math>\omega_c</math>:
    metodo valido: genera distorsioni molto ridotte, e garantisce la stabilità di <math>C(z)</math> ottenuta a partire da <math>C(s)</math> stabile
Altri metodi
  • metodo di invarianza della risposta all'impulso: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso ad impulso la sequenza di campioni all'uscita di <math>C(z)</math> coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di <math>C(s)</math>:
    metodo non valido: non garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo di invarianza della risposta al gradino: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso a gradino la sequenza di campioni all'uscita di <math>C(z)</math> coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di <math>C(s)</math>, ed è equivalente a considerare <math>C(s)</math> in cascata a un fittizio filtro Z.O.H.:
Dimostrazione

C(z) = \mathcal{Z} \left\{ \frac{C(s)}{s} \right\} ; \; C(z) = \left( 1- z^{-1} \right) \mathcal{Z} \left\{ \frac{C(s)}{s} \right\}</math>

Applicare il metodo di invarianza della risposta al gradino è matematicamente equivalente a fare la trasformata zeta di <math>C(s)</math> in cascata ad un fittizio Z.O.H.:

<math>\mathcal{Z} \left\{ \frac{1- e^{-sT}}{s} \cdot C(s) \right\} = \left( 1- z^{-1} \right) \mathcal{Z} \left\{ \frac{C(s)}{s} \right\}</math>

}}

metodo valido: garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo della corrispondenza poli-zeri: calcola direttamente i poli e gli zeri di <math>C(z)</math> a partire da quelli di <math>C(s)</math> (<math>z=e^{sT}</math>):
    metodo valido

Progetto per la realizzazione del controllore digitale[modifica | modifica sorgente]

  1. 8 si sceglie il passo di campionamento <math>T</math>:
    • si considera come prima scelta un valore dell'ordine di qualche millisecondo:
      <math>T= \frac{2 \pi}{\alpha \omega_B} , \quad 5 \leq \alpha \leq 20</math>
    • si valuta il nuovo margine di fase <math>m_\varphi</math> della funzione d'anello corrispondente alla cascata del campionatore, del controllore e del filtro Z.O.H. approssimato (basta introdurre il termine <math>1+s \tfrac{T}{2}</math> a denominatore della funzione d'anello del sistema da controllare);
    • se il margine di fase <math>m_\varphi</math> risulta insufficiente, si riduce il passo di campionamento <math>T</math> per quanto possibile;
  2. 9 si sceglie un metodo di discretizzazione e si calcola la funzione <math>C(z)</math> del controllore digitale a partire da <math>C(s)</math>;
  3. 10 si verifica il comportamento del sistema complessivo in presenza del controllore digitale <math>C(z)</math>:
    • analisi a tempo discreto (in frequenza e nel tempo): si trasformano in zeta la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> e la funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> del sistema, scegliendo il metodo di invarianza della risposta al gradino come metodo per trasformare la funzione <math>F(s)</math> del sistema da controllare;
    • simulazione del sistema ibrido con Simulink.
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