Controlli automatici/Risposte di sistemi del I e II ordine

Da WikiAppunti.
Jump to navigation Jump to search
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è E23. Risposte di sistemi del I e II ordine.
Gtk-go-back-ltr.svg  E22. Stabilità esterna e risposta a regimeGtk-home.svg  Controlli automatici (E. Stabilità esterna e analisi della risposta)1. Introduzione ai sistemi di controllo  Gtk-go-forward-ltr.svg

Premesse[modifica | modifica sorgente]

Ipotesi[modifica | modifica sorgente]

5-6 Si considera un sistema dinamico SISO, LTI e a tempo continuo, con una certa funzione di trasferimento:

<math>H \left( s \right) = \frac{N_H \left( s \right)}{D_H \left( s \right)}</math>

e si restringe l'attenzione ai casi:

  • <math>D_H \left( s \right)</math> = polinomio di I grado → sistema del I ordine;
  • <math>D_H \left( s \right)</math> = polinomio di II grado → sistema del II ordine;

e inoltre si suppone <math>H \left( s \right)</math> strettamente propria (= il grado di <math>N_H \left( s \right)</math> è strettamente minore del grado di <math>D_H \left( s \right)</math>).

Si considerano due casi per l'ingresso <math>u \left( t \right)</math>:

  • un ingresso impulsivo:
    <math>u(t) = \bar u \delta \left( t \right) \Rightarrow U \left( s \right) = \bar u</math>
  • un ingresso a gradino:
    <math>u(t) = \bar u \varepsilon \left( t \right) \Rightarrow U \left( s \right) = \frac{\bar u}{s}</math>

Si ipotizza che il sistema sia inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle):

<math>Y \left( s \right) = Y_f \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right)</math>

Richiami[modifica | modifica sorgente]

Teorema del valore iniziale[modifica | modifica sorgente]

<math>\lim_{t \to 0^+} y \left( t \right) = \lim_{s \to + \infty} s Y \left( s \right)</math>
Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti (<math>< + \infty</math>); in particolare occorre che <math>Y \left( s \right)</math> sia strettamente propria.

Teorema del valore finale[modifica | modifica sorgente]

<math>\lim_{t \to + \infty} y \left( t \right) = \lim_{s \to 0} s Y \left( s \right)</math>
Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti (<math>< + \infty</math>); in particolare occorre che <math>s Y \left( s \right)</math> non abbia poli nel semipiano destro chiuso (= asse immaginario compreso) → tutti i poli di <math>s Y \left( s \right)</math> devono avere parte reale strettamente negativa.

Risposte di sistemi del I ordine[modifica | modifica sorgente]

9 Si considera un sistema del I ordine con funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> avente un polo in <math>p</math>:

<math>H \left( s \right) = \frac{K^*}{s-p}</math>

dove <math>K^*</math> è il guadagno.

Risposta a un ingresso impulsivo[modifica | modifica sorgente]

Risposta <math>y \left( t \right)</math> di un sistema del I ordine a un ingresso impulsivo <math>u \left( t \right)</math> al variare del polo <math>p</math>

Applicando un ingresso impulsivo <math>u \left( t \right)</math>:

<math>u(t) = \bar u \delta \left( t \right) \Rightarrow U \left( s \right) = \bar u</math>

la risposta del sistema <math>y \left( t \right)</math> è:

<math>Y \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right) = \frac{K^*}{s-p} \bar u \Rightarrow y \left( t \right) = K^* \bar u e^{pt} \varepsilon \left( t \right)</math>
Valore iniziale della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Il teorema del valore iniziale si può applicare perché <math>Y \left( s \right)</math> è strettamente propria:

<math>y \left( 0^+ \right) = \lim_{s \to + \infty} s \frac{K^* \bar u}{s-p} = K^* \bar u</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se <math>sY \left( s \right)</math> non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se <math>p \leq 0</math>.

Valore a regime <math>y_\infty</math> della risposta <math>y \left( t \right)</math>

12 Il valore a regime <math>y_\infty</math> della risposta <math>y \left( t \right)</math> del sistema è il valore a cui essa converge nel tempo:

<math>y_{\infty} \triangleq \lim_{t \to + \infty} y(t)</math>

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

  • se <math>p < 0</math>:
    <math>y_{\infty} = \lim_{s \to 0} s \frac{K^* \bar u}{s-p} = 0</math>
  • se <math>p=0</math>:
    <math>y_{\infty} = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{K^* \bar u}{\cancel{s}} = K^* \bar u</math>

Risposta al gradino[modifica | modifica sorgente]

Risposta <math>y \left( t \right)</math> di un sistema del I ordine a un ingresso a gradino <math>u \left( t \right)</math> al variare del polo <math>p</math>

Applicando un ingresso a gradino <math>u \left( t \right)</math>:

<math>u(t) = \bar u \varepsilon \left( t \right) \Rightarrow U \left( s \right) = \frac{\bar u}{s}</math>

la risposta <math>y \left( t \right)</math> del sistema è:

  • se <math>p=0</math>:
    <math>Y \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right) = \frac{K^* \bar u}{s^2} \Rightarrow y \left( t \right) = K^* \bar u t \varepsilon \left( t \right)</math>
  • 10 se <math>p \neq 0</math>:
<math>Y \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right) = \frac{K^*}{s-p} \frac{\bar u}{s} = \frac{\frac{K^* \bar u}{-p}}{s} + \frac{\frac{K^* \bar u}{p}}{s-p} = { K^* \bar u \over -p} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s-p} \right) \Rightarrow y \left( t \right) = \underbrace{\frac{K^*}{-p} }_{K} \bar u \left( \varepsilon \left( t \right) - e^{pt} \varepsilon \left( t \right) \right) = K \bar u \left( 1 - e^{pt} \right) \varepsilon \left( t \right)</math>
Valore iniziale della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché <math>Y \left( s \right)</math> è strettamente propria:

<math>y \left( 0^+ \right) = \lim_{s \to + \infty} \cancel{s} \frac{K^* \bar u}{\cancel{s} \left( s-p \right)} = 0</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se <math>sY \left( s \right)</math> non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se <math>p < 0</math>.

Valore a regime <math>y_\infty</math> della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

<math>y_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{K^* \bar u}{\cancel{s} \left( s-p \right)} = \frac{K^* \bar u}{-p}</math>
Parametri tipici
  • 9 la costante di tempo <math>\tau</math> è l'istante di tempo in cui la risposta <math>y(t)</math> raggiunge il 63% del valore a regime <math>y_\infty</math>:
    <math>\tau = \left| \frac{1}{p} \right|</math>
  • 13 il tempo di salita <math>t_r</math> è il tempo necessario perché la risposta <math>y(t)</math> passi dal 10% al 90% del valore di regime <math>y_{\infty}</math>;
  • 14 il tempo di assestamento <math>t_{a, \varepsilon \%}</math> rispetto al percentile <math>\varepsilon \%</math> è il tempo oltre il quale la risposta <math>y(t)</math> non esce più dalla fascia <math>\left[ \left( 1- 0,01 \varepsilon \right) y_\infty , \left( 1+ 0,01 \varepsilon \right) y_\infty \right]</math>:
    • 15 a <math>t = 3 \tau</math> la risposta <math>y(t)</math> raggiunge il 95% del valore a regime <math>y_{\infty}</math>:
      <math>t_{a, 5 \%} \approx 3 \tau</math>

Risposta al gradino di sistemi del II ordine[modifica | modifica sorgente]

Caso 1: 2 poli reali distinti senza zeri[modifica | modifica sorgente]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> avente due poli reali distinti <math>p_1</math> e <math>p_2</math>:

<math>H \left( s \right) = \frac{K^*}{\left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right)} , \quad p_1 \neq p_2 \neq 0</math>

Applicando un ingresso a gradino <math>u(t)</math>:

<math>u(t)= \bar u \varepsilon (t) \Rightarrow U \left( s \right) = \frac{\bar u}{s}</math>

la risposta <math>y(t)</math> del sistema è:

<math>Y \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right) = \frac{K^* \bar u}{s \left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right)} \Rightarrow y \left( t \right) = \frac{K^* \bar u}{p_1 p_2} \left[ 1+ \frac{p_2}{p_1-p_2} e^{p_1 t} - \frac{p_1}{p_1 - p_2} e^{p_2t} \right] \varepsilon (t)</math>
Valore iniziale della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché <math>Y \left( s \right)</math> è strettamente propria:

<math>y \left( 0^+ \right) = \lim_{s \to + \infty} \cancel{s} \frac{K^* \bar u}{\cancel{s} \left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right)} = 0</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

Risposta <math>y(t)</math> di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali distinti e senza zeri a un ingresso a gradino <math>u(t)</math> al variare della costante di tempo equivalente <math>\tau_{\text{eq}}</math>

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se <math>s Y \left( s \right)</math> non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se <math>p_1 <0</math> e <math>p_2 <0</math>.

Valore a regime <math>y_\infty</math> della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

<math>y_{\infty} = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{K^* \bar u}{\cancel{s} \left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right)} = \frac{K^* \bar u}{p_1 p_2}</math>
Parametri tipici
  • costante di tempo equivalente <math>\tau_{\text{eq}}</math>:
    <math>\tau_{\text{eq}} \cong \sideset{}{_i}\sum{\tau_{p_i}} = \tau_1 + \tau_2 = \left| \frac{1}{p_1} \right| + \left| \frac{1}{p_2} \right|</math>
    all'aumentare della costante di tempo equivalente <math>\tau_{\text{eq}}</math> si riduce il tempo di salita della risposta <math>y(t)</math>

Caso 2: 2 poli reali distinti e 1 zero reale[modifica | modifica sorgente]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> avente due poli reali distinti <math>p_1</math> e <math>p_2</math> e uno zero reale <math>z</math>:

<math>H \left( s \right) = \frac{K^* \left( s-z \right)}{\left( s- p_1 \right) \left( s- p_2 \right)} , \quad p_1 \neq p_2 \neq z , \; p_1 \neq p_2 \neq 0</math>

Applicando un ingresso a gradino <math>u(t)</math>:

<math>u(t) = \bar u \varepsilon (t) \Rightarrow U (s) = \frac{\bar u}{s}</math>

la risposta <math>y(t)</math> del sistema è:

<math>Y(s) = H(s) U(s) = \frac{\bar u K^* \left( s-z \right)}{s \left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right)} \Rightarrow y (t) = - \frac{K^* z \bar u}{p_1 p_2} \left[ 1- \frac{\left( p_1 -z \right) p_2}{z \left( p_1 - p_2 \right)} e^{p_1 t} + \frac{\left( p_2 - z \right) p_1}{z \left( p_1 - p_2 \right)} e^{p_2 t} \right] \varepsilon (t)</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se <math>s Y \left( s \right)</math> non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se <math>p_1 < 0</math> e <math>p_2 < 0</math>.

Effetti dello zero <math>z</math>
  • <math>z < \max_i{p_i} < 0</math>: al diminuire di <math>\left| z \right|</math> si riduce il tempo di salita (quindi si riduce la costante di tempo equivalente <math>\tau_{\text{eq}}</math>) → è possibile definire una costante di tempo <math>\tau_z = \tfrac{1}{\left| z \right|}</math> associata allo zero <math>z</math>:
    <math>\tau_{\text{eq}} = \sideset{}{_i}\sum{\tau_{p_i} - \tau_z}</math>
  • <math>\max_i{p_i} < z < 0</math>: al diminuire di <math>\left| z \right|</math> aumenta la sovraelongazione (risposta non monotona);
  • <math>z > 0</math>: al diminuire di <math>z</math> aumenta la sottoelongazione (risposta inversa) che ha un effetto di ritardo sulla risposta.

Caso 3: 2 poli complessi coniugati distinti senza zeri[modifica | modifica sorgente]

23 Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> avente due poli complessi coniugati distinti <math>s_1 = \sigma_0 + j \omega_0</math> e <math>s_2 = \sigma_0 - j \omega_0</math>:

<math>H \left( s \right) = K \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}</math>

dove:

  • <math>K</math> è il guadagno;
  • la pulsazione naturale <math>\omega_n</math> è la distanza dall'origine:
    <math>\omega_n = \sqrt{ {\sigma_0}^2 + {\omega_0}^2}</math>
  • lo smorzamento <math>\zeta</math> è il seno dell'angolo <math>\theta</math> formato con l'asse immaginario:
    <math>\zeta = \sin \theta</math>

24 Applicando un ingresso a gradino <math>u(t)</math>:

<math>u(t) = \bar u \varepsilon (t) \Rightarrow U (s) = \frac{\bar u}{s}</math>

la risposta <math>y(t)</math> del sistema è:

<math>Y \left( s \right) = H \left( s \right) U \left( s \right) = \frac{\bar u K \omega_n^2}{s \left( s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2 \right)}</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

38 Risposta <math>y(t)</math> di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino <math>u(t)</math> al variare dello smorzamento <math>\zeta</math>
39 Risposta <math>y(t)</math> di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino <math>u(t)</math> al variare della pulsazione naturale <math>\omega_n</math>

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se <math>s Y \left( s \right)</math> non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se <math>\omega_0 = \Re{\left\{ s_1 \right\}} = \Re{\left\{ s_2 \right\}} < 0</math>.

Se il sistema è BIBO-stabile la risposta <math>y(t)</math> del sistema è:

<math>y (t) = \bar u K \left[ 1- \frac{1}{\sqrt{1- \zeta^2}} e^{- \zeta \omega_n t} \sin{\left( \omega_n \sqrt{1- \zeta^2} t \right)} + \arccos{\zeta} \right] \varepsilon (t)</math>
26 Valore a regime <math>y_\infty</math> della risposta <math>y \left( t \right)</math>

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

<math>y_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{\bar u K \omega_n^2}{\cancel{s} \left( s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2 \right)} = K \bar u</math>
Parametri tipici
  • 23 costante di tempo <math>\tau</math>:
    <math>\tau = \frac{1}{\zeta \omega_n}</math>
  • 26-32 il valore di picco <math>y_{\text{max}}</math> è il valore istantaneo massimo della risposta <math>y \left( t \right)</math> assunto al tempo di picco <math>\hat t</math>:
    <math>y_{\text{max}} = y \left( \hat t \right) = \max_t{y \left( t \right)} , \quad \hat t = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1- \zeta^2}} \propto \frac{1}{\omega_n}</math>
Valori tipici della sovraelongazione massima in funzione dello smorzamento <math>\zeta</math>
  • 28-32 sovraelongazione massima <math>\hat s</math>:
    <math>\hat s = \frac{y_{\text{max}} - y_\infty}{y_\infty} = e^{- \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}} \Rightarrow \zeta = \frac{\left| \ln{\hat s} \right|}{\sqrt{\pi^2 + {\ln}^2{\hat s}}}</math>
  • 29 sovraelongazione massima percentuale <math>{\hat s}_\%</math>:
    <math>{\hat s}_\% = 100 \cdot \hat s</math>
    38 fissata una pulsazione naturale <math>\omega_n</math>, al diminuire dello smorzamento <math>\zeta</math> aumenta la sovraelongazione della risposta <math>y(t)</math>
  • 33 il tempo di salita <math>t_s</math> è il primo istante in cui la risposta <math>y \left( t \right)</math> raggiunge il valore a regime <math>y_\infty</math>:
    <math>t_s = \hat t - \frac{\arccos{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1- \zeta^2}} = \frac{1}{\omega_n \sqrt{1- \zeta^2}} \left( \pi - \arccos{\zeta} \right)</math>
  • il tempo di salita <math>t_r</math> è il tempo necessario perché la risposta <math>y(t)</math> passi dal 10% al 90% del valore di regime <math>y_\infty</math>:
    <math>t_r \approx \frac{2,16 \zeta + 0,6}{\omega_n}</math>
    39 fissato uno smorzamento <math>\zeta</math>, al diminuire della pulsazione naturale <math>\omega_n</math> aumenta il tempo di salita della risposta <math>y(t)</math>
  • 36 il tempo di assestamento <math>t_{a, \varepsilon \%}</math> rispetto al percentile <math>\varepsilon \%</math> è il tempo oltre il quale la risposta <math>y(t)</math> non esce più dalla fascia <math>\left[ \left( 1- 0,01 \varepsilon \right) y_\infty , \left( 1+ 0,01 \varepsilon \right) y_\infty \right]</math>:
    <math>t_{a , \varepsilon \%} \approx - \frac{\ln{\left( 0,01 \varepsilon \right)}}{\zeta \omega_n}</math>
    • a <math>t = 3 \tau</math> la risposta <math>y(t)</math> raggiunge il 95% del valore a regime <math>y_{\infty}</math>:
      <math>t_{a, 5 \%} \approx \frac{3}{\zeta \omega_n} = \frac{3}{\left| \Re{\left\{ s_1 \right\}} \right|} = 3 \tau</math>

Caso 4: 2 poli reali coincidenti senza zeri[modifica | modifica sorgente]

40 Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento <math>H \left( s \right)</math> avente due poli reali coincidenti <math>s_1 = s_2 = - \tfrac{1}{\tau}</math>:

<math>H \left( s \right) = \frac{K}{ {\left( 1 + \tau s \right)}^2 }</math>

Condizioni di stabilità esterna[modifica | modifica sorgente]

43 Risposta <math>y(t)</math> di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali coincidenti e senza zeri a un ingresso a gradino <math>u(t)</math> al variare della costante di tempo <math>\tau</math>

Applicando un ingresso a gradino <math>u(t)</math>:

<math>u(t) = \bar u \varepsilon (t) \Rightarrow U (s) = \frac{\bar u}{s}</math>

la risposta <math>y(t)</math> del sistema:

<math>y \left( t \right) = \bar u K \left( 1- e^{- \frac{t}{\tau}} - \frac{t}{\tau} e^{- \frac{t}{\tau}} \right) \varepsilon \left( t \right)</math>

41 è monotona e non presenta oscillazioni, sottoelongazioni o sottoelongazioni.

Valori tipici
<math>y_\infty</math> <math>\bar u K</math>
<math>t_r</math> <math>\approx 3,36 \tau</math>
<math>t_{a, 5 \%}</math> <math>\approx 4,74 \tau</math>
<math>t_{a, 1 \%}</math> <math>\approx 6,64 \tau</math>
42 Parametri tipici
  • costante di tempo <math>\tau</math>: (<math>\zeta = 1</math>)
    <math>\tau = \frac{1}{\omega_n}</math>
  • valore a regime <math>y_\infty</math>;
  • tempo di salita <math>t_r</math> dal 10% al 90%;
    43 all'aumentare della costante di tempo <math>\tau</math> aumenta il tempo di salita <math>t_r</math> della risposta <math>y(t)</math>
  • tempo di assestamento <math>t_{a, \varepsilon \%}</math> rispetto al percentile <math>\varepsilon \%</math>.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è E23. Risposte di sistemi del I e II ordine.
Gtk-go-back-ltr.svg  E22. Stabilità esterna e risposta a regimeGtk-home.svg  Controlli automatici (E. Stabilità esterna e analisi della risposta)1. Introduzione ai sistemi di controllo  Gtk-go-forward-ltr.svg