Controlli automatici/Reti di compensazione II

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Reti attenuatrici

4 Diagrammi di Bode normalizzati di reti attenuatrici al variare di <math>m_i</math>

2 Una rete attenuatrice (o integrativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

<math>R_i(s) = \frac{1+ \frac{\tau_i}{m_i} s}{1+ \tau_i s} , \quad \begin{cases} \tau_i > 0 \\ m_i > 1 \end{cases}</math>

La rete presenta:

• un polo in <math>- \tfrac{1}{\tau_i}</math>;
• uno zero in <math>- \tfrac{m_i}{\tau_i}</math>.

3 Essendo <math>m_i > 1</math>, lo zero si trova ad una pulsazione <math>m_i</math> volte maggiore di quella del polo → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti attenuatrici, al variare di <math>m_i</math>, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata <math>\omega \tau_i</math>:

• il polo si trova alla pulsazione normalizzata <math>1 = 0 \text{ dB}</math>;
• lo zero si trova alla pulsazione normalizzata <math>m_i</math>.

L'inserimento di una rete attenuatrice nella funzione <math>C'(s)</math> introduce nella funzione d'anello <math>G_a(s)</math>:

• 5 un'attenuazione di modulo crescente al crescere di <math>m_i</math>, che tende al valore minimo <math>- {\left. m_i \right|}_{\text{dB}}</math> per <math>\omega \to + \infty</math>;
• 7 una perdita (cioè diminuzione) di fase crescente al crescere di <math>m_i</math>, il cui minimo <math>\varphi_{\text{min}}</math> si trova all'ascissa normalizzata <math>\sqrt{m_i}</math>.

8 Le reti attenuatrici sono utilizzate quando è necessaria un'attenuazione di modulo <math>{\left. \Delta m \right|}_{\text{dB}}</math> per ridurre la pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> fino a portarla al valore desiderato <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math>:

<math>- {\left. \Delta m \right|}_{\text{dB}} = {\left| {G_a}_1 \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) \right|}_{\text{dB}}</math>

10 Il valore di <math>m_i</math> è scelto pari all'attenuazione di modulo <math>\Delta m</math> richiesta:

<math>m_i = - \Delta m</math>

11-12 La costante di tempo <math>\tau_i</math> si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che in corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata <math>x_i</math>, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math>, l'attenuazione di modulo <math>{\left. \Delta m \right|}_{\text{dB}}</math> tenda a quella massima della rete:

<math>x_i = {\omega_c}_{\text{des}} \tau_i \gg \sqrt{m_i} : \; {\left| R_i \left( j {\omega_c}_{\text{des}} \right) \right|}_{\text{dB}} = {\left. \Delta m \right|}_{\text{dB}} \to - {\left. m_i \right|}_{\text{dB}}</math>

In corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata <math>x_i</math>:

• 13 la perdita di fase deve essere piccola in modo da contenere la riduzione del margine di fase <math>m_\varphi</math>;
• 14 il tempo di assestamento <math>t_{a, \varepsilon \%}</math> della risposta del sistema non deve essere troppo elevato, cioè l'ascissa <math>x_i</math> non deve essere scelta a pulsazioni troppo elevate.

Reti integro-derivative

30 Diagramma di Bode di una rete integro-derivativa

28 Una rete integro-derivativa (o lead-lag) è descritta da una funzione di trasferimento del secondo ordine, dal prodotto di una rete attenuatrice e di una rete anticipatrice:

<math>R_{id} (s) = \underbrace{\frac{1+ \frac{\tau_i}{m_i} s}{1+ \tau_i s}}_{\text{attenuatrice}} \cdot \underbrace{\frac{1+ \tau_d s}{1+ \frac{\tau_d}{m_d} s}}_{\text{anticipatrice}} , \quad \begin{cases} \tau_i , \tau_d > 0 \\ m_i , m_d > 1 \end{cases}</math>

29 Una rete integro-derivativa è utilizzata quando alla pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math> è necessario introdurre:

• un recupero di fase (anticipatrice) per garantire il margine di fase richiesto;

e

• un'attenuazione del modulo (attenuatrice) affinché il modulo sia unitario (<math>0 \text{ dB}</math>).

34 Si progetta prima la rete anticipatrice apportando un recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario, così la fase in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice.

Implicazioni sull'attività sul comando

La risposta al gradino della funzione di trasferimento <math>W_u (s)</math> del comando <math>u(t)</math>:

<math>W_u (s) = \frac{u(s)}{y_{\text{des}} (s)} = \frac{C(s)}{1+G_a (s)}</math>

presenta un valore massimo che aumenta al crescere dell'azione anticipatrice introdotta (<math>m_d</math>) e diminuisce al crescere dell'azione attenuatrice introdotta (<math>m_i</math>):

• 56 se la funzione <math>C(s)</math> del controllore è priva di poli nell'origine, il comando <math>u(t)</math> raggiunge il valore massimo per <math>t=0</math>:

  <math>\lim_{t \to 0} u (t) = K_c \frac{\sideset{}{_k}\prod{ {m_d}_k}}{\sideset{}{_j}\prod{ {m_i}_j}}</math>

55 Dimostrazione

(s) = \lim_{s \to + \infty} s \frac{C(s)}{1+ G_a (s)} \cdot \mathcal{L} \left\{ \varepsilon (t) \right\} = \lim_{s \to + \infty} \cancel{s} \frac{C(s)}{1+ G_a (s)} \cdot \frac{1}{\cancel{s}} =</math>

Poiché <math>G_a(s)</math> è la funzione d'anello di un sistema fisicamente realizzabile, essa è strettamente propria:

<math>= \lim_{s \to + \infty} C(s) = K_c \frac{\sideset{}{_k}\prod{ {m_d}_k}}{\sideset{}{_j}\prod{ {m_i}_j}}</math>

}}

• 58 se la funzione <math>C(s)</math> del controllore contiene almeno un polo nell'origine, il comando <math>u(t)</math> raggiunge il valore massimo per <math>t>0</math>.

Note

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