Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

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3-4-5-6-7 Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi

2 Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.

8-9 Tipi di disturbo

disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente[modifica | modifica sorgente]

Tipi di disturbo polinomiale

disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
<math>d(t) = D \Rightarrow d (s) = \frac{D}{s}</math>
disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:
<math>d(t) = \alpha_d t \Rightarrow d (s) = \frac{\alpha_d}{s^2}</math>

11 Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

posizione nell'anello;
tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

12 Per ogni disturbo <math>d_j (t)</math>:

si pongono a zero il riferimento <math>r(t)</math> (e quindi l'uscita desiderata <math>y_{\text{des}} (t)</math>) e tutti gli altri eventuali disturbi;
16-26 si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d_j}}_\infty</math>, cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo <math>d_j (t)</math>, tramite il teorema del valore finale:
<math>{y_{d_j}}_\infty = \lim_{t \to + \infty} y_{d_j} (t) = \lim_{s \to 0} s y_{d_j} (s) = \lim_{s \to 0} s W_{d_j} (s) d_j (s)</math>

15-25 dove <math>W_{d_j}</math> è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:

si determina l'errore in regime permanente <math>{e_{d_j}}_\infty</math> dovuto alla sola presenza del disturbo <math>d_j (t)</math>:
<math>e(t) = \cancel{y_{\text{des}} (t)} - y (t) \Rightarrow {e_{d_j}}_\infty = - {y_{d_j}}_\infty</math>

19 Un sistema si dice astatico ad un disturbo <math>d_j (t)</math> se l'effetto <math>{y_{d_j}}_\infty</math> di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

13 Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente <math>e_\infty</math> corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo <math>d_j (t)</math> e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente <math>{e_r}_\infty</math>:

<math>e_\infty = {e_r}_\infty + \sideset{}{_j}\sum{ {e_{d_j}}_\infty }</math>

Effetti di un disturbo posto sull'uscita[modifica | modifica sorgente]

Effetto sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d_y}}_\infty</math>
		Disturbo <math>d_y (t)</math> posto sull'uscita
		costante: <math>D_y</math>	rampa: <math>\alpha_{d_y} t</math>
S i s t e m a	tipo 0	<math>\frac{D_y}{1+ K_{Ga}}</math>	<math>+ \infty</math>
	tipo 1	0	<math>\frac{\alpha_{d_y}}{K_{Ga}}</math>
	tipo 2	0	0

14-15 Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello <math>G_a (s) = C(s) F(s)</math> in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento <math>W_{d_y} (s)</math> fra un disturbo polinomiale <math>d_y (t)</math> posto sull'uscita e l'uscita è data da:

16 Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d_y}}_\infty</math> (reiezione totale):

<math>{y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} s W_{d_y} (s) d_y (s)</math>

18-19 il sistema è astatico ad un disturbo costante <math>D_y</math> posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
<math>{y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{1}{1+ G_a (s)} \frac{D_y}{\cancel{s}} = 0 , \quad G_a (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}</math>
20-22 il sistema è astatico ad un disturbo a rampa <math>\alpha_{d_y} t</math> posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:
<math>{y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{1}{1+ G_a (s)} \frac{\alpha_{d_y}}{s^{\cancel{2}}} = 0 , \quad G_a (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}</math>

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto[modifica | modifica sorgente]

Effetto sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d_i}}_\infty</math>
		Disturbo <math>d_i (t)</math> posto lungo il ramo diretto
		costante: <math>D_i</math>		rampa: <math>\alpha_{d_i} t</math>
<math>G_1 (s)</math>	tipo 0	<math>G_2 (s)</math> tipo 0: <math>\frac{K_{G2} D_i}{1+ K_{G1} K_{G2}}</math>	<math>G_2 (s)</math> tipo > 0: <math>\frac{D_i}{K_{G1}}</math>	<math>+ \infty</math>
	tipo 1	0		<math>\frac{\alpha_{d_i}}{K_{G1}}</math>
	tipo 2	0		0

23 Sia <math>d_i (t)</math> un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math> e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento <math>G_2 (s)</math>:

se <math>d_i (t)</math> è un disturbo sul comando (<math>d_u (t)</math>): <math>G_1 (s) = C(s)</math>, <math>G_2 (s) = F (s)</math>;
se <math>d_i (t)</math> è un disturbo interno al sistema: <math>G_1 (s) = C(s) F_1 (s)</math>, <math>G_2 (s) = F_2 (s)</math>.

24-25 Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello <math>G_a (s) = C(s) F(s)</math> in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento <math>W_{d_i} (s)</math> fra un disturbo polinomiale <math>d_i (t)</math> posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

26 Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d_i}}_\infty</math> (reiezione totale):

<math>{y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} s W_{d_i} (s) d_i (s)</math>

27-29 il sistema è astatico ad un disturbo costante <math>D_i</math> posto lungo il ramo diretto se <math>G_1 (s)</math> è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di <math>G_2 (s)</math>:
<math>{y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{G_2 (s)}{1+ G_1 (s) G_2 (s)} \frac{D_i}{\cancel{s}} = 0 , \quad G_1 (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}</math>
30-31 il sistema è astatico ad un disturbo a rampa <math>\alpha_{d_i} t</math> posto lungo il ramo diretto se <math>G_1 (s)</math> è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di <math>G_2 (s)</math>:
<math>{y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{G_2 (s)}{1+ G_1 (s) G_2 (s)} \frac{\alpha_{d_i}}{s^{\cancel{2}}} = 0 , \quad G_1 (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}</math>

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]

Specifica di reiezione[modifica | modifica sorgente]

41-42 Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore <math>\mathcal{C}</math>: affinché un disturbo polinomiale di grado <math>h</math> sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math> risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo^[1] abbia (almeno) <math>h+1</math> poli nell'origine.

Specifica di attenuazione[modifica | modifica sorgente]

43 Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario <math>K_C</math> minimo della funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore <math>\mathcal{C}</math>.

Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica | modifica sorgente]

44 Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale <math>d(t)</math> di grado <math>h</math> sull'uscita in regime permanente <math>{y_{d}}_\infty</math> sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math> risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo^[1] abbia (almeno) <math>h</math> poli nell'origine:

disturbo costante <math>D</math>: non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C (s)</math> del controllore;
45 disturbo a rampa <math>\alpha_d t</math>: può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C (s)</math> del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math> non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimo[modifica | modifica sorgente]

46 Se il numero di poli della funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math> è uguale al grado del disturbo polinomiale <math>d(t)</math>, l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente <math>{y_d}_\infty</math> si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_{G1}</math> della funzione di trasferimento <math>G_1 (s)</math>, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_C</math> della funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore:

<math>\left| {y_d}_\infty \left( K_{G1} \right) \right| \leq {y_d}_{\text{max}} \Rightarrow \left| K_{G1} \right| \geq {K_{G1}}_{\text{min}} \Rightarrow \left| K_C \right| \geq {K_C}_{\text{min}}</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

↑ ^1,0 ^1,1 <math>G_1 (s)</math> coincide con l'intera <math>G_a (s)</math> se il disturbo entra sull'uscita del sistema.