Controlli automatici/Raggiungibilità e controllabilità

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C17. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione	Controlli automatici (D. Proprietà strutturali e leggi di controllo)	D19. Retroazione statica dallo stato

6 Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> possono modificare lo stato del sistema:

• raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math>?
• controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math>?

Raggiungibilità

7 Uno stato <math>x^*</math> si dice raggiungibile a partire dallo stato zero <math>x_0 = x \left( t_0 \right)</math> se esistono:

• un istante di tempo <math>t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right)</math>;
• una funzione di ingresso <math>u^* \left( t \right)</math> definita in <math>t \in \left[ t_0 , t^* \right]</math>;

tali che il movimento dello stato <math>x \left( t \right)</math> raggiunga al tempo <math>t^*</math> lo stato finale <math>x^*</math>:

<math>x \left( t^* \right) = x^*</math>

16 In un sistema LTI con dimensione finita <math>n</math>, lo spazio di stato <math>X</math> si divide in due parti:

• parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> di dimensione <math>r < n</math>, a cui sono associati <math>r</math> autovalori della matrice <math>A</math>;
• parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità <math>X_{NR}</math> di dimensione <math>n-r</math>, a cui sono associati <math>n-r</math> autovalori della matrice <math>A</math>.

8 L'insieme di raggiungibilità <math>X_R \left( t^* \right)</math> è l'insieme di tutti gli stati finali <math>x^*</math> raggiungibili al tempo <math>t^*</math> a partire dallo stato zero <math>x_0</math> considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

<math>X_R \left( t^* \right) = \left\{ x^* : \; x^* \text{ raggiungibile dallo stato zero } x_0 \text{ al tempo } t^* \right\}</math>

L'insieme di raggiungibilità <math>X_R \left( t^* \right)</math> costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato <math>X</math>.

9 Il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> è il più grande insieme di raggiungibilità <math>X_R \left( t \right)</math>:

<math>X_R = \max_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_R \left( t \right)}</math>

29 La dimensione <math>r</math> del sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> è pari al rango della matrice di raggiungibilità <math>M_R</math>:

<math>r = \rho \left( M_R \right)</math>

La matrice di raggiungibilità <math>M_R</math> rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in <math>t \in \left[ t_0 , t^* \right]</math> e tutti i possibili stati finali <math>x^*</math>:

<math>M_R = \begin{bmatrix} B & AB & A^2 B & \cdots & A^{n-b} B \end{bmatrix}</math>

dove <math>b</math> è il rango della matrice <math>B</math> (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

<math>b = \rho{\left( B \right)}</math>

Dimostrazione

_{M_R \left( \ell \right)} \underbrace{\begin{bmatrix} u \left( \ell -1 \right) \\ u \left( \ell - 2 \right) \\ \vdots \\ u \left( 0 \right) \end{bmatrix}}_{U \left( \ell \right)} = M_R \left( \ell \right) U \left( \ell \right) \end{array}</math>

25 La matrice <math>M_R \left( \ell \right)</math> rappresenta il legame tra la sequenza di ingresso e lo stato <math>x \left( \ell \right)</math>. Pertanto, l'insieme di raggiungibilità <math>X_R \left( \ell \right)</math> corrisponde allo spazio immagine <math>\mathcal{R} \left( \cdot \right)</math> generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice <math>M_R \left( \ell \right)</math>:

<math>X_R \left( \ell \right) = \mathcal{R} \left( M_R \left( \ell \right) \right)</math>

Sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math>

26 Determinare la dimensione <math>\ell</math> del sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> significa determinare per quale istante <math>\ell</math> la matrice <math>M_R \left( \ell \right)</math> ha rango massimo.

27-28 Il calcolo del rango di <math>M_R \left( \ell \right)</math> è equivalente al calcolo del rango di <math>M_R \left( n \right)</math> (teorema di Caley-Hamilton):

<math>X_R = X_R \left( n \right) = \mathcal{R} \left( M_R \right) = \mathcal{R} \left( M_R \left( n \right) \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right)</math>

}}

9 Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità <math>X_{NR}</math>, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math>:

<math>X_{NR} = X_R^\bot : \; \begin{cases} X_{NR} \cap X_R = \varnothing \\ X_{NR} \cup X_R = X \end{cases}</math>

17 L'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

9 Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> coincide con lo spazio di stato <math>X</math>, cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

<math>X_R = X \Leftrightarrow r = \rho \left( M_R \right) = n</math>

Controllabilità

10 Uno stato <math>x^* = x \left( t_0 \right)</math> si dice controllabile allo stato zero <math>x_0</math> se esistono:

• un istante di tempo <math>t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right)</math>;
• una funzione di ingresso <math>u^* \left( t \right)</math> definita in <math>t \in \left[ t_0 , t^* \right]</math>;

tali che il movimento dello stato <math>x \left( t \right)</math> raggiunga al tempo <math>t^*</math> lo stato zero <math>x_0</math>:

<math>x \left( t^* \right) = x_0</math>

11 L'insieme di controllabilità <math>X_C \left( t^* \right)</math> è l'insieme di tutti gli stati finali <math>x^*</math> controllabili al tempo <math>t^*</math> allo stato zero <math>x_0</math> considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

<math>X_C \left( t^* \right) = \left\{ x^* : \; x^* \text{ controllabile allo stato zero } x_0 \text{ al tempo } t^* \right\}</math>

L'insieme di controllabilità <math>X_C \left( t^* \right)</math> costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato <math>X</math>.

12 Il sottospazio di controllabilità <math>X_C</math> è il più grande insieme di controllabilità <math>X_C \left( t \right)</math>:

<math>X_C = \max_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_C \left( t \right)}</math>

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità <math>X_C</math> coincide con lo spazio di stato <math>X</math>, cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

<math>X_C = X</math>

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità <math>X_{NC}</math>, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità <math>X_C</math>:

<math>X_{NC} = X_C^\bot : \; \begin{cases} X_{NC} \cap X_C = \varnothing \\ X_{NC} \cup X_C = X \end{cases}</math>

14 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

<math>X_R = X_C</math>

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> è incluso nel sottospazio di controllabilità <math>X_C</math>:

<math>X_R \subseteq X_C</math>

Se la matrice <math>A</math> è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

<math>X_R = X_C</math>

Problema della realizzazione

48 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento <math>H \left( \bullet \right)</math> è univoca:

<math>H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D</math>

49 Invece, data la funzione di trasferimento <math>H \left( \bullet \right)</math> di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

51-52 Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

<math>H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = \frac{d_{n-1} s^{n-1} + \ldots + d_0}{s^n + c_{n-1} s^{n-1} + \ldots + c_0}+ d_n \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ - c_0 & - c_1 & \cdots & - c_{n-1} \end{bmatrix} , \; B = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \; C = \begin{bmatrix} d_0 & d_1 & \cdots & d_{n-1} \end{bmatrix} , \; D = \begin{bmatrix} d_n \end{bmatrix}</math>

• la matrice <math>A</math> è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice <math>A</math> è:

  <math>p \left( A \right) = \det{\left( \lambda I - A \right)} = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + c_1 \lambda + c_0</math>

• il sistema dinamico individuato dalle matrici <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> è sempre completamente raggiungibile.

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