Controlli automatici/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
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Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in traslazione[modifica | modifica sorgente]
12-13 Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
- scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di massa <math>M_i</math> (eventualmente nulla) in traslazione, avente posizione <math>p_i</math> e velocità <math>v_i = {\dot p}_i</math>;
- introdurre due variabili di stato per ogni corpo <math>M_i</math> in traslazione, scegliendo in particolare la posizione <math>p_i</math> e la velocità <math>{\dot p}_i</math>, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
- associare una variabile di ingresso ad ogni forza esterna applicata al sistema meccanico in traslazione;
- ricavare le equazioni di stato del tipo:
- <math>{\dot x}_i \left( t \right) = f_i \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
- a partire dalle precedenti equazioni del moto;
- ricavare le equazioni di uscita del tipo:
- <math>y_k \left( t \right) = g_k \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
Equazioni del moto[modifica | modifica sorgente]
8 In un sistema composto da più corpi puntiformi in traslazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (assi di riferimento), per ogni corpo <math>M_i</math> con posizione <math>p_i</math> e velocità <math>v = \dot p</math> vale la seconda legge di Newton:
- <math>M_i {\ddot p}_i \left( t \right) = \sideset{}{_k}\sum{ F_k^{\text{est}} \left( t \right) } - \sideset{}{_j^{j \neq i}}\sum{F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right)}</math>
10 Il segno meno indica che le forze interne <math>F_{ij}^{\text{int}}</math> trasmettono il moto agli altri corpi <math>M_j</math>, riducendo la forza d'inerzia di <math>M_i</math>.
Forze esterne[modifica | modifica sorgente]
8 Le forze esterne <math>F_k^{\text{est}}</math> tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo <math>M_i</math>.
4 L'equazione generale del moto di traslazione di un corpo puntiforme di massa <math>M</math> dovuto a forze esterne <math>F_i \left( t \right)</math> agenti sul corpo è:
- <math>M \ddot{p} \left( t \right) = F \left( t \right) = \sideset{}{_i}\sum{ F_i \left( t \right) }</math>
Le forze lungo il sistema di riferimento sono positive, mentre le forze in direzione opposta sono negative.
- 5 Forza elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità <math>K</math>
- <math>F \left( t \right) = K \left[ p_+ \left( t \right) - p_- \left( t \right) \right]</math>
- 6 Forza di attrito viscoso di uno smorzatore ideale di smorzamento <math>\beta</math>
- <math>F \left( t \right) = \beta \left[ {\dot{p}}_+ \left( t \right) - {\dot{p}}_- \left( t \right) \right]</math>
Forze interne[modifica | modifica sorgente]
9 Le forze interne <math>F_{ij}^{\text{int}}</math> tengono conto dell'interazione tra il corpo <math>M_i</math> considerato e gli altri corpi <math>M_j</math> tramite molle o smorzatori:
- molle ideali <math>K_{ij}</math>:
- <math>F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = K_{ij} \left[ p_i \left( t \right) - p_j \left( t \right) \right]</math>
- smorzatori ideali <math>\beta_{ij}</math>:
- <math>F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = \beta_{ij} \left[ {\dot p}_i \left( t \right) - {\dot p}_j \left( t \right) \right]</math>
24 Si può modellizzare il fenomeno dell'attrito radente mediante uno smorzamento equivalente avente un'estremità fissa e lo smorzamento <math>\beta_i</math> uguale al coefficiente d'attrito viscoso.
Applicazione: levitatore magnetico[modifica | modifica sorgente]
25 Una sfera metallica di massa <math>M</math> è tenuta sospesa dall'equilibrio tra la forza peso e la forza elettromagnetica <math>f \left( t \right)</math> generata da un elettromagnete attraverso cui scorre una corrente <math>i \left( t \right)</math>:
- <math>f \left( t \right) = k_i \frac{i^2 \left( t \right)}{p^2 \left( t \right)}</math>
Nella realtà basta un infinitesimo spostamento della sfera perché essa cada o venga attirata contro l'elettromagnete → serve un sistema di controllo automatico che, attraverso un trasduttore ottico di posizione, regoli la corrente <math>i \left( t \right)</math> per bilanciare queste oscillazioni infinitesime e mantenere l'equilibrio.
- Equazioni di stato
- <math>\begin{cases} {\dot{x}}_1 = x_2 \\ {\dot{x}}_2 = g - \frac{k_1}{M} \frac{u^2}{ {x_1}^2} \end{cases}</math>
- Equazione di uscita
- <math>y = x_1</math>
Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in rotazione[modifica | modifica sorgente]
49-50 Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
- scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di inerzia <math>J_i</math> (eventualmente nulla) in rotazione, avente posizione angolare <math>\theta_i</math> e velocità angolare <math>\omega = {\dot \theta}_i</math>;
- introdurre due variabili di stato per ogni corpo <math>J_i</math> in rotazione, scegliendo in particolare la posizione angolare <math>\theta_i</math> e la velocità angolare <math>{\dot \theta}_i</math>, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
- associare una variabile di ingresso ad ogni coppia esterna applicata al sistema meccanico in rotazione;
- ricavare le equazioni di stato del tipo:
- <math>{\dot x}_i \left( t \right) = f_i \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
- a partire dalle precedenti equazioni del moto;
- ricavare le equazioni di uscita del tipo:
- <math>y_k \left( t \right) = g_k \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
Equazioni del moto[modifica | modifica sorgente]
45 In un sistema composto da più corpi puntiformi in rotazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (versi di rotazione), per ogni corpo <math>J_i</math> con posizione angolare <math>\theta_i</math> e velocità angolare <math>\omega = \dot \theta</math> vale la seconda legge di Newton:
- <math>J_i {\ddot \theta}_i \left( t \right) = \sideset{}{_k}\sum{ T_k^{\text{est}} \left( t \right) } - \sideset{}{_j^{j \neq i}}\sum{T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right)}</math>
La velocità angolare <math>\omega = \dot \theta</math> è rappresentata da un vettore non rotazionale determinato dalla regola della mano destra.
47 Il segno meno indica che le coppie interne <math>T_{ij}^{\text{int}}</math> trasmettono il moto agli altri corpi <math>J_j</math>, riducendo la coppia d'inerzia di <math>J_i</math>.
Coppie esterne[modifica | modifica sorgente]
45 Le coppie esterne <math>J_k^{\text{est}}</math> tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo <math>J_i</math>.
41 L'equazione generale del moto di rotazione di un corpo puntiforme di inerzia <math>J</math> dovuto a coppie esterne <math>T_i \left( t \right)</math> agenti sul corpo è:
- <math>J \ddot \theta \left( t \right) = T \left( t \right) = \sideset{}{_i}\sum{T_i \left( t \right)}</math>
Le coppie nel verso di rotazione concorde con il sistema di riferimento sono positive, mentre le coppie nel verso di rotazione opposto sono negative.
- 42 Coppia elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale <math>K</math>
- <math>T \left( t \right) = K \left[ \theta_+ \left( t \right) - \theta_- \left( t \right) \right]</math>
- 43 Coppia di attrito di uno smorzatore ideale di smorzamento <math>\beta</math>
- <math>T \left( t \right) = \beta \left[ {\dot \theta}_+ \left( t \right) - {\dot \theta}_- \left( t \right) \right]</math>
Coppie interne[modifica | modifica sorgente]
46 Le coppie interne <math>T_{ij}^{\text{int}}</math> tengono conto dell'interazione tra il corpo <math>J_i</math> considerato e gli altri corpi <math>J_j</math> tramite molle o smorzatori:
- molle ideali <math>K_{ij}</math>:
- <math>T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = K_{ij} \left[ \theta_i \left( t \right) - \theta_j \left( t \right) \right]</math>
- smorzatori ideali <math>\beta_{ij}</math>:
- <math>T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = \beta_{ij} \left[ {\dot \theta}_i \left( t \right) - {\dot \theta}_j \left( t \right) \right]</math>
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