Controlli automatici/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
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2 I sistemi dinamici a tempo discreto sono descritti dalle seguenti equazioni di stato (equazione alle differenze) e di uscita:
- <math>\begin{cases} x_i \left( k+1 \right) = f_i \left( k , x (k) , u (k) \right) \\
y_l (k) = g_l \left( k , x(k) , u(k) \right) \end{cases}</math>
Sistemi dinamici a classi di età[modifica | modifica sorgente]
5 I modelli a classi di età permettono di sapere il numero degli elementi di una certa classe <math>i</math>-esima nell'istante temporale <math>k</math>. L'evoluzione di ogni classe dall'istante <math>k</math> all'istante <math>k+1</math> è descritta tenendo conto del tasso di mortalità <math>\gamma</math> e del tasso di sopravvivenza <math>1- \gamma</math> degli elementi della classe.
6 Lo stato <math>x_i (k)</math> è il numero di elementi della classe <math>i</math>-esima, l'ingresso <math>u(k)</math> rappresenta l'ingresso di nuovi elementi in una classe.
- 11-18 Equazioni di stato e di uscita
- <math>\begin{cases} x \left( k+1 \right) = A x(k) + B u(k) \\ y (k) = C x(k) + D u(k) \end{cases}</math>
Sistemi dinamici a dati campionati[modifica | modifica sorgente]
Sistema di controllo a tempo continuo
21 Sistema di controllo a tempo discreto
Discretizzazione[modifica | modifica sorgente]
22-23 Il processo di discretizzazione avviene attraverso un campionatore con passo di campionamento <math>T_s</math>:
- <math>\begin{cases} x (t) = A x (t) + B u(t) \\ y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \left( k+1 \right) = A_d x (k) + B_d u(k) \\ y(k) = C_d x (k) + D_d u(k) \end{cases}</math>
24-25 dove le matrici <math>A_d</math> e <math>B_d</math> sono ricavabili dalla formula di Lagrange:[1]
- <math>x (t) = e^{A \left( t-t_0 \right)} x \left( t_0 \right) + \int_{t_0}^t e^{A \left( t-t_0- \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow x \left( k+1 \right) = \underbrace{e^{AT_s}}_{A_d} x \left( k \right) + \underbrace{\left( \int_0^{T_s} e^{A \left( T_s - \tau \right)} d \tau \right) }_{B_d} B u(k)</math>
Note[modifica | modifica sorgente]
- ↑ Si ipotizza che il filtro di tenuta a partire da un ingresso discreto <math>u(k)</math> produca un ingresso <math>u(t)</math> costante a tratti:
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