Controlli automatici/Margini di stabilità

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4-5 Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math>, in particolare:

variazioni di <math>F(s)</math> dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
variazioni di <math>C(s)</math> dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

6-7 L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di fase[modifica | modifica sorgente]

26-27 Se:

il guadagno <math>K_C</math> è positivo;
la funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math> è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva (<math>n_{i,a} =0</math>);
esiste una sola pulsazione <math>\omega</math> per cui il modulo <math>\left| {G_a}_f (s) \right|</math> risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math> interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
esiste una sola pulsazione <math>\omega</math> di valore finito per cui la fase <math>\ang {G_a}_f (s)</math> vale <math>- {180}^\circ</math> → il diagramma polare della funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math> interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

i margini di stabilità di guadagno <math>m_G</math> e di fase <math>m_\varphi</math> sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math>;
il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno <math>{m_G}_{\text{dB}}</math> e di fase <math>m_\varphi</math> risultano positivi.

Margine di guadagno[modifica | modifica sorgente]

11 Data una funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math> che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto <math>\left( x_A , 0 \right)</math> corrispondente alla pulsazione <math>\omega_\pi</math>, il guadagno <math>K_C</math> è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math>:

12-13 Aumentando il guadagno <math>K_C</math>, il modulo della funzione d'anello <math>G_a(s)</math> aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico <math>\left( -1, 0 \right)</math> il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

14 Il margine di guadagno <math>m_G</math> corrisponde al fattore moltiplicativo <math>K_C</math> per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico <math>\left( -1 , 0 \right)</math>:

<math>m_G = \frac{1}{\left| x_A \right|} , \quad -1 < x_A < 0</math>

15 Le variazioni del guadagno <math>K_C</math> non devono superare il margine di guadagno <math>m_G</math> affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno <math>m_G</math>.

28 Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno <math>K_C</math> non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno <math>m_G</math>.

16-17 Il margine di guadagno <math>m_G</math> può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello <math>G_a (s)</math>: esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale <math>1 = 0 \text{ dB}</math>, in corrispondenza della pulsazione <math>\omega_\pi</math> alla quale la fase vale <math>- {180}^\circ</math>:

<math>\begin{cases} {m_G}_{\text{dB}} = - {\left| G_a \left( j \omega_\pi \right) \right|}_{\text{dB}} \\ \ang G_a \left( j \omega_\pi \right) = - {180}^\circ \end{cases}</math>

Margine di fase[modifica | modifica sorgente]

19-23 Sia data una funzione d'anello nominale <math>{G_a}_f (s)</math> che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto <math>1 e^{j \varphi_C}</math> corrispondente alla pulsazione <math>\omega_c</math>, detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

20-21 A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello <math>G_a(s)</math> in corrispondenza della pulsazione critica <math>\omega_c</math> diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico <math>\left( -1, 0 \right)</math> il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

22 Il margine di fase <math>m_\varphi</math> corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico <math>\left( -1 , 0 \right)</math>:

<math>m_\varphi = {180}^\circ + \varphi_C , \quad - {180}^\circ < \varphi_C < - {90}^\circ</math>

23 La perdita di fase alla pulsazione critica <math>\omega_c</math> non deve superare il margine di fase <math>m_\varphi</math> affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase <math>m_\varphi</math>.

24 Il margine di fase <math>m_\varphi</math> può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello <math>G_a (s)</math>: esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale <math>- {180}^\circ</math>, in corrispondenza della pulsazione critica <math>\omega_c</math> alla quale il modulo vale <math>1 = 0 \text{ dB}</math>:

<math>\begin{cases} m_\varphi = {180}^\circ + \ang G_a \left( j \omega_c \right) \\ {\left| G_a \left( j \omega_c \right) \right|}_{\text{dB}} = 0 \end{cases}</math>

Estensioni delle definizioni dei margini[modifica | modifica sorgente]

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

32-34 il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno <math>K_C</math> deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione <math>{m_G}_1</math> e al di sotto del margine di amplificazione <math>{m_G}_2</math>;
38 il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase <math>m_\varphi</math> deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
44 la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanza[modifica | modifica sorgente]

47-51 Il picco di risonanza <math>M_r</math> della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> è approssimabile al valore massimo <math>{W_y}_r</math> del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza <math>\omega_r</math>:

<math>M_r = \frac{ {W_y}_r }{\left| W_y \left( 0 \right) \right|} , \quad {W_y}_r = \left| W_y \left( j \omega_r \right) \right| = \max{\left\{ \left| W_y \left( j \omega \right) \right| \right\}}</math>

se la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> non ha poli nell'origine:
<math>M_r \approx {W_y}_r</math>
se la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> ha almeno un polo nell'origine:
<math>M_r = {W_y}_r</math>

Dimostrazione

W_y \left( 0 \right) \right

48 Se la funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza <math>M_r</math> dipende dallo smorzamento <math>\zeta</math> dei poli:

<math>M_r \approx \left| W_y \left( j \omega_r \right) \right| = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} , \quad \begin{cases} 0 < \zeta < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \omega_r = \omega_n \sqrt{1- 2 \zeta^2} \end{cases}</math>

49-50 Il picco di risonanza <math>M_r</math> è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento <math>\zeta</math> è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza <math>M_r</math> è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza <math>M_r</math> sono dell'ordine di qualche dB, da <math>5 \text{ dB}</math> per <math>\zeta = 0,3</math> a <math>1 \text{ dB}</math> per <math>\zeta = 0,5</math>.

54 Luoghi a modulo costante nel diagramma di Nyquist

55 Affinché il picco di risonanza <math>M_r</math> sia inferiore ad un certo valore limite <math>{M_r}_{\text{lim}}</math> desiderato:

53 il diagramma di Nyquist della funzione d'anello <math>G_a (s)</math> deve essere esterno per tutti i valori di <math>\omega</math> alla circonferenza corrispondente al valore limite <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>:

<math>{\left( \mathcal{R} \left\{ G_a \left( j \omega \right) \right\} - {\mathcal{R}}_0 \right)}^2 + {\left( \mathcal{I} \left\{ G_a \left( j \omega \right) \right\} \right)}^2 = \rho^2 , \quad \begin{cases} {\mathcal{R}}_0 = \frac{{M_r}_{\text{lim}}^2}{1- {M_r}_{\text{lim}}^2} \\ \rho = \frac{{M_r}_{\text{lim}}}{\left| 1 - {M_r}_{\text{lim}}^2 \right|} \end{cases}</math>