Controlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali
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Caratteristiche di un sistema di controllo in retroazione[modifica | modifica sorgente]
21 Un sistema di controllo in retroazione, in assenza di disturbi, avente una funzione d'anello <math>G_a \left( s \right) = C \left( s \right) F \left( s \right)</math> in forma minima e priva di zeri nell'origine, è di tipo <math>h</math> se la sua funzione d'anello <math>G_a \left( s \right)</math> ha un polo nell'origine (<math>s=0</math>) di molteplicità <math>h</math>.
22-23 Il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> della funzione d'anello <math>G_a</math> del sistema di controllo in retroazione di tipo <math>h</math> in esame è definito:
- <math>K_{Ga} = \lim_{s \to 0} s^h G_a \left( s \right)</math>
- se il sistema è di tipo 0, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di posizione:
- <math>K_{Ga} = G_a \left( 0 \right)</math>
- se il sistema è di tipo 1, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di velocità:
- <math>K_{Ga} = N \left( 0 \right) , \quad G_a (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}</math>
- se il sistema è di tipo 2, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di accelerazione:
- <math>K_{Ga} = M \left( 0 \right) , \quad G_a (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}</math>
25 La funzione di trasferimento d'errore <math>W_{e,y} (s)</math> del sistema di controllo in retroazione in esame è definita:
- <math>\begin{cases} W_{e,y} \left( s \right) = \frac{e(s)}{y_{\text{des}} (s)} = \frac{1}{1+G_a (s)} \\ W_e \left( s \right) = \frac{e \left( s \right)}{r \left( s \right)} = K_r W_{e,y} (s) = \frac{K_r}{1+G_a (s)} \end{cases}</math>
Segnali canonici di riferimento[modifica | modifica sorgente]
3-4 Le specifiche relative alla precisione di inseguimento in regime permanente vengono formulate in riferimento a un certo segnale canonico polinomiale <math>r(t)</math>:
- <math>r(t) = \frac{t^k}{k!} \Rightarrow r(s) = \frac{1}{s^{k+1}} , \quad k = 0 , 1 , 2, \ldots</math>
dove <math>k</math> è il grado del segnale <math>r(t)</math>:
- 5 <math>k=0</math>: gradino:
- <math>r(t) = \varepsilon (t) \Rightarrow y_{\text{des}} (t) = K_r r (t) = K_r \varepsilon (t)</math>
- es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: posizione costante pari a <math>K_r</math>
- 6 <math>k=1</math>: rampa:
- <math>r(t) = t \Rightarrow y_{\text{des}} (t) = K_r r (t) = K_r t</math>
- es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: velocità costante pari a <math>K_r</math>
- 7 <math>k=2</math>: arco di parabola:
- <math>r(t) = \frac{t^2}{2} \Rightarrow y_{ \text{des}} (t) = K_r r (t) = \frac{K_r}{2} t^2</math>
- es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: accelerazione costante pari a <math>K_r</math>
18 Esistono inoltre i segnali canonici di riferimento sinusoidali:
- <math>r(t) = \sin{\left( \omega_0 t \right)} \Rightarrow r(s) = \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}</math>
Inseguimento di riferimenti polinomiali[modifica | modifica sorgente]
Riferimento <math>r(t)</math> | ||||
---|---|---|---|---|
grado 0: <math>\varepsilon (t)</math> | grado 1: <math>t</math> | grado 2: <math>\tfrac{1}{2} t^2</math> | ||
S i s t e m a |
tipo 0 | <math>\frac{K_r}{1+ K_{Ga}}</math> | <math>+ \infty</math> | <math>+ \infty</math> |
tipo 1 | 0 | <math>\frac{K_r}{K_{Ga}}</math> | <math>+ \infty</math> | |
tipo 2 | 0 | 0 | <math>\frac{K_r}{K_{Ga}}</math> |
26 Tramite il teorema del valore finale è possibile valutare l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math>:
- <math>e_\infty = \lim_{t \to + \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s e (s) = \lim_{s \to 0} s W_e (s) r(s)</math>
Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>:
- 39 se il tipo del sistema è pari a <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è finito e non nullo, e diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> → anche in assenza di disturbi si ha un errore intrinseco in regime permanente <math>{e_r}_\infty</math>, che può essere ridotto (ma non annullato) aumentando il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math>;
- 45 se il tipo del sistema è maggiore di <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è sempre nullo → il sistema è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e l'uscita <math>y(t)</math> del sistema converge perfettamente al valore desiderato <math>y_{\text{des}}</math>;
- 49 se il tipo del sistema è minore di <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è sempre infinito → il sistema non è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e la distanza tra l'uscita <math>y(t)</math> del sistema e il valore desiderato <math>y_{\text{des}}</math> cresce indefinitamente.[1]
Sistemi con zeri nell'origine[modifica | modifica sorgente]
52 Se la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> presenta almeno uno zero nell'origine (<math>s=0</math>), il sistema risulta certamente di tipo 0: essendo in forma minima per ipotesi, la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> non può presentare poli nell'origine → il sistema non è in grado di inseguire segnali canonici di riferimento polinomiali di grado superiore a zero.
53 Nel caso del segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado zero, l'unico che il sistema è in grado di inseguire:
- <math>y_{\text{des}} (t) = K_r r(t) = K_r \varepsilon (t) \Rightarrow {y_{\text{des}}}_\infty = \lim_{t \to + \infty} y_{\text{des}} (t) = K_r</math>
l'uscita <math>y(t)</math> del sistema converge a zero in regime permanente:
- <math>K_{Ga} = G_a \left( 0 \right) = 0 \Rightarrow e_\infty = \frac{K_r}{1+ \cancel{K_{Ga}}} = K_r \Rightarrow y_\infty = {y_{\text{des}}}_\infty - e_\infty = K_r - K_r = 0</math>
Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]
55-56 Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> (riferite a riferimenti polinomiali) possono imporre vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a (s) = C(s) F(s)</math>. Dato un processo <math>\mathcal{F}</math> con funzione di trasferimento <math>F(s)</math> (che include il sistema da controllare <math>\mathcal{S}</math>), i vincoli sono imposti sulla funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore <math>\mathcal{C}</math>.
Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica | modifica sorgente]
57 Sia <math>n_{0, f}</math> il numero di poli nell'origine di una generica funzione di trasferimento <math>f(s)</math>. Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è finito se il sistema è almeno di tipo <math>k</math>:
- <math>n_{0,G_a} = n_{0, F} + n_{0, C} \geq k</math>
Dato un processo <math>\mathcal{F}</math>, e quindi noto <math>n_{0, F}</math>, per garantire che il sistema sia almeno di tipo <math>k</math>:
- 58 se <math>n_{0, F} \geq k</math>, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C(s)</math> perché l'errore in regime permanente <math>e_\infty</math> risulta già finito se <math>n_{0,F} = k</math> o nullo se <math>n_{0, F} > k</math>;
- se <math>n_{0,F} < k</math>, è necessario che la funzione di trasferimento <math>C(s)</math> abbia un numero <math>n_{0,C}</math> di poli nell'origine pari a <math>k- n_{0, F}</math>.[2]
59 Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è nullo se il sistema è almeno di tipo <math>k+1</math>:
- <math>n_{0,G_a} = n_{0, F} + n_{0, C} \geq k+1</math>
Dato un processo <math>\mathcal{F}</math>, e quindi noto <math>n_{0, F}</math>, per garantire che il sistema sia almeno di tipo <math>k+1</math>:
- se <math>n_{0, F} \geq k+1</math>, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C(s)</math> perché l'errore in regime permanente <math>e_\infty</math> risulta già nullo;
- se <math>n_{0,F} < k+1</math>, è necessario che la funzione di trasferimento <math>C(s)</math> abbia un numero <math>n_{0,C}</math> di poli nell'origine pari a <math>k+1- n_{0, F}</math>.[3]
Vincoli sul guadagno stazionario[modifica | modifica sorgente]
60 Se il tipo del sistema è pari al grado del riferimento polinomiale <math>r(t)</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math>, finito e non nullo, si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> della funzione d'anello <math>G_a</math>, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_C</math> della funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore:
- <math>\left| e_\infty \left( K_{Ga} \right) \right| \leq e_{\text{max}} \Rightarrow \left| K_{Ga} \right| \geq {K_{Ga}}_{\text{min}} \Rightarrow \left| K_C \right| \geq {K_C}_{\text{min}}</math>
Note[modifica | modifica sorgente]
- ↑ Un errore di inseguimento <math>e_\infty</math> infinito non significa che l'uscita <math>y (t)</math> del sistema diverge.
- ↑ Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che <math>n_{0,C} \geq k- n_{0, F}</math>, ma limitandosi a <math>n_{0,C} = k- n_{0, F}</math> poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento <math>C(s)</math>.
- ↑ Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che <math>n_{0,C} \geq k+1- n_{0, F}</math>, ma limitandosi a <math>n_{0,C} = k+1- n_{0, F}</math> poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento <math>C(s)</math>.
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