Controlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali

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Caratteristiche di un sistema di controllo in retroazione[modifica | modifica sorgente]

Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in assenza di disturbi

21 Un sistema di controllo in retroazione, in assenza di disturbi, avente una funzione d'anello <math>G_a \left( s \right) = C \left( s \right) F \left( s \right)</math> in forma minima e priva di zeri nell'origine, è di tipo <math>h</math> se la sua funzione d'anello <math>G_a \left( s \right)</math> ha un polo nell'origine (<math>s=0</math>) di molteplicità <math>h</math>.

22-23 Il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> della funzione d'anello <math>G_a</math> del sistema di controllo in retroazione di tipo <math>h</math> in esame è definito:

<math>K_{Ga} = \lim_{s \to 0} s^h G_a \left( s \right)</math>
  • se il sistema è di tipo 0, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di posizione:
    <math>K_{Ga} = G_a \left( 0 \right)</math>
  • se il sistema è di tipo 1, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di velocità:
    <math>K_{Ga} = N \left( 0 \right) , \quad G_a (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}</math>
  • se il sistema è di tipo 2, il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> è detto guadagno di accelerazione:
    <math>K_{Ga} = M \left( 0 \right) , \quad G_a (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}</math>

25 La funzione di trasferimento d'errore <math>W_{e,y} (s)</math> del sistema di controllo in retroazione in esame è definita:

<math>\begin{cases} W_{e,y} \left( s \right) = \frac{e(s)}{y_{\text{des}} (s)} = \frac{1}{1+G_a (s)} \\ W_e \left( s \right) = \frac{e \left( s \right)}{r \left( s \right)} = K_r W_{e,y} (s) = \frac{K_r}{1+G_a (s)} \end{cases}</math>

Segnali canonici di riferimento[modifica | modifica sorgente]

3-4 Le specifiche relative alla precisione di inseguimento in regime permanente vengono formulate in riferimento a un certo segnale canonico polinomiale <math>r(t)</math>:

<math>r(t) = \frac{t^k}{k!} \Rightarrow r(s) = \frac{1}{s^{k+1}} , \quad k = 0 , 1 , 2, \ldots</math>

dove <math>k</math> è il grado del segnale <math>r(t)</math>:

  • 5 <math>k=0</math>: gradino:
    <math>r(t) = \varepsilon (t) \Rightarrow y_{\text{des}} (t) = K_r r (t) = K_r \varepsilon (t)</math>
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: posizione costante pari a <math>K_r</math>
  • 6 <math>k=1</math>: rampa:
    <math>r(t) = t \Rightarrow y_{\text{des}} (t) = K_r r (t) = K_r t</math>
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: velocità costante pari a <math>K_r</math>
  • 7 <math>k=2</math>: arco di parabola:
    <math>r(t) = \frac{t^2}{2} \Rightarrow y_{ \text{des}} (t) = K_r r (t) = \frac{K_r}{2} t^2</math>
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: accelerazione costante pari a <math>K_r</math>

18 Esistono inoltre i segnali canonici di riferimento sinusoidali:

<math>r(t) = \sin{\left( \omega_0 t \right)} \Rightarrow r(s) = \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}</math>

Inseguimento di riferimenti polinomiali[modifica | modifica sorgente]

28 Errore in regime permanente <math>e_\infty</math>
Riferimento <math>r(t)</math>
grado 0: <math>\varepsilon (t)</math> grado 1: <math>t</math> grado 2: <math>\tfrac{1}{2} t^2</math>
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0 <math>\frac{K_r}{1+ K_{Ga}}</math> <math>+ \infty</math> <math>+ \infty</math>
tipo 1 0 <math>\frac{K_r}{K_{Ga}}</math> <math>+ \infty</math>
tipo 2 0 0 <math>\frac{K_r}{K_{Ga}}</math>

26 Tramite il teorema del valore finale è possibile valutare l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math>:

<math>e_\infty = \lim_{t \to + \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s e (s) = \lim_{s \to 0} s W_e (s) r(s)</math>

Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>:

  • 39 se il tipo del sistema è pari a <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è finito e non nullo, e diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> → anche in assenza di disturbi si ha un errore intrinseco in regime permanente <math>{e_r}_\infty</math>, che può essere ridotto (ma non annullato) aumentando il guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math>;
  • 45 se il tipo del sistema è maggiore di <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è sempre nullo → il sistema è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e l'uscita <math>y(t)</math> del sistema converge perfettamente al valore desiderato <math>y_{\text{des}}</math>;
  • 49 se il tipo del sistema è minore di <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è sempre infinito → il sistema non è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e la distanza tra l'uscita <math>y(t)</math> del sistema e il valore desiderato <math>y_{\text{des}}</math> cresce indefinitamente.[1]

Sistemi con zeri nell'origine[modifica | modifica sorgente]

52 Se la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> presenta almeno uno zero nell'origine (<math>s=0</math>), il sistema risulta certamente di tipo 0: essendo in forma minima per ipotesi, la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> non può presentare poli nell'origine → il sistema non è in grado di inseguire segnali canonici di riferimento polinomiali di grado superiore a zero.

53 Nel caso del segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado zero, l'unico che il sistema è in grado di inseguire:

<math>y_{\text{des}} (t) = K_r r(t) = K_r \varepsilon (t) \Rightarrow {y_{\text{des}}}_\infty = \lim_{t \to + \infty} y_{\text{des}} (t) = K_r</math>

l'uscita <math>y(t)</math> del sistema converge a zero in regime permanente:

<math>K_{Ga} = G_a \left( 0 \right) = 0 \Rightarrow e_\infty = \frac{K_r}{1+ \cancel{K_{Ga}}} = K_r \Rightarrow y_\infty = {y_{\text{des}}}_\infty - e_\infty = K_r - K_r = 0</math>

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]

55-56 Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> (riferite a riferimenti polinomiali) possono imporre vincoli sulla funzione d'anello <math>G_a (s) = C(s) F(s)</math>. Dato un processo <math>\mathcal{F}</math> con funzione di trasferimento <math>F(s)</math> (che include il sistema da controllare <math>\mathcal{S}</math>), i vincoli sono imposti sulla funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore <math>\mathcal{C}</math>.

Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica | modifica sorgente]

57 Sia <math>n_{0, f}</math> il numero di poli nell'origine di una generica funzione di trasferimento <math>f(s)</math>. Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è finito se il sistema è almeno di tipo <math>k</math>:

<math>n_{0,G_a} = n_{0, F} + n_{0, C} \geq k</math>

Dato un processo <math>\mathcal{F}</math>, e quindi noto <math>n_{0, F}</math>, per garantire che il sistema sia almeno di tipo <math>k</math>:

  • 58 se <math>n_{0, F} \geq k</math>, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C(s)</math> perché l'errore in regime permanente <math>e_\infty</math> risulta già finito se <math>n_{0,F} = k</math> o nullo se <math>n_{0, F} > k</math>;
  • se <math>n_{0,F} < k</math>, è necessario che la funzione di trasferimento <math>C(s)</math> abbia un numero <math>n_{0,C}</math> di poli nell'origine pari a <math>k- n_{0, F}</math>.[2]

59 Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale <math>r(t)</math> di grado <math>k</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math> è nullo se il sistema è almeno di tipo <math>k+1</math>:

<math>n_{0,G_a} = n_{0, F} + n_{0, C} \geq k+1</math>

Dato un processo <math>\mathcal{F}</math>, e quindi noto <math>n_{0, F}</math>, per garantire che il sistema sia almeno di tipo <math>k+1</math>:

  • se <math>n_{0, F} \geq k+1</math>, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento <math>C(s)</math> perché l'errore in regime permanente <math>e_\infty</math> risulta già nullo;
  • se <math>n_{0,F} < k+1</math>, è necessario che la funzione di trasferimento <math>C(s)</math> abbia un numero <math>n_{0,C}</math> di poli nell'origine pari a <math>k+1- n_{0, F}</math>.[3]

Vincoli sul guadagno stazionario[modifica | modifica sorgente]

60 Se il tipo del sistema è pari al grado del riferimento polinomiale <math>r(t)</math>, l'errore di inseguimento in regime permanente <math>e_\infty</math>, finito e non nullo, si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_{Ga}</math> della funzione d'anello <math>G_a</math>, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario <math>K_C</math> della funzione di trasferimento <math>C(s)</math> del controllore:

<math>\left| e_\infty \left( K_{Ga} \right) \right| \leq e_{\text{max}} \Rightarrow \left| K_{Ga} \right| \geq {K_{Ga}}_{\text{min}} \Rightarrow \left| K_C \right| \geq {K_C}_{\text{min}}</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Un errore di inseguimento <math>e_\infty</math> infinito non significa che l'uscita <math>y (t)</math> del sistema diverge.
  2. Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che <math>n_{0,C} \geq k- n_{0, F}</math>, ma limitandosi a <math>n_{0,C} = k- n_{0, F}</math> poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento <math>C(s)</math>.
  3. Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che <math>n_{0,C} \geq k+1- n_{0, F}</math>, ma limitandosi a <math>n_{0,C} = k+1- n_{0, F}</math> poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento <math>C(s)</math>.
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