Controlli automatici/Funzione di sensibilità

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Sensibilità parametrica[modifica | modifica sorgente]

Funzione di sensibilità rispetto a una variazione parametrica[modifica | modifica sorgente]

5 La funzione di sensibilità <math>S_p^{W_y}</math> della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> rispetto ad un parametro <math>p</math>:

<math>S_p^{W_y} = \frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial p}{p}}</math>

dove:

  • <math>\tfrac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}</math> è la variazione relativa della funzione <math>W_y(s)</math> come conseguenza della variazione del parametro <math>p</math>;
  • <math>\tfrac{\partial p}{p}</math> è la variazione relativa del parametro <math>p</math>;

4-6 misura l'influenza di variazioni sul parametro <math>p</math> sulla fedeltà di risposta del sistema controllato:

  • se la funzione di sensibilità <math>S_p^{W_y}</math> è molto minore di 1, la funzione <math>W_y(s)</math> risulta poco sensibile alle variazioni del parametro <math>p</math>, e quindi la risposta del sistema non varia significativamente al variare del parametro <math>p</math>;
  • se la funzione di sensibilità <math>S_p^{W_y}</math> è prossima a 1 o maggiore, la funzione <math>W_y(s)</math> risulta molto sensibile alle variazioni del parametro <math>p</math>, e quindi la risposta del sistema varia pesantemente al variare del parametro <math>p</math>.

Sensibilità del sistema[modifica | modifica sorgente]

10-12 Separando la sensibilità di <math>W_y(s)</math> rispetto a <math>G_a(s)</math> e la sensibilità di <math>G_a(s)</math> rispetto a <math>p</math>:

<math>S_p^{W_y} = S_{G_a}^{W_y} \cdot S_p^{G_a} = \underbrace{\frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}}}_{S_{G_a}^{W_y}} \cdot \underbrace{\frac{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}}{\frac{\partial p}{p}}}_{S_p^{G_a}}</math>

11-13-30 si definisce sensibilità del sistema <math>S(s)</math> la funzione di sensibilità <math>S_{G_a}^{W_y}</math> della funzione di trasferimento <math>W_y(s)</math> rispetto alla funzione d'anello <math>G_a(s)</math>:

<math>S(s) \triangleq S_{G_a}^{W_y} = \frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}} = \frac{1}{1+G_a(s)} \Rightarrow S(s) + W_y(s) = 1</math>
8-9 Dimostrazione

_{\frac{\partial W_y (s)}{\partial p}} \cdot \frac{p}{W_y (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{G_a (s)} = \underbrace{\frac{\partial W_y (s)}{\partial G_a (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{W_y (s)}}_{S_{G_a}^{W_y} = S(s)} \cdot \underbrace{\frac{\partial G_a (s)}{\partial p} \cdot \frac{p}{G_a (s)}}_{S_p^{G_a}}</math>

<math>\begin{cases} W_y (s) = \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} \\ S(s) = \frac{\partial W_y (s)}{\partial G_a (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{W_y (s)} \end{cases} \Rightarrow S(s) = \frac{1}{1+G_a(s)} \Rightarrow S(s) + W_y(s) = \frac{1}{1+G_a(s)} + \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} = 1</math>

}}

  • se le variazioni parametriche riguardano la funzione <math>C(s)</math> del controllore, la sensibilità <math>S_p^{W_y}</math> del sistema in catena chiusa può essere contenuta sia agendo sulla "qualità realizzativa" del controllore per ridurre la funzione di sensibilità <math>S_p^{G_a}</math>, sia riducendo la sensibilità <math>S (s)</math>;
  • se le variazioni parametriche riguardano la funzione <math>F(s)</math> del sistema da controllare, la sensibilità <math>S_p^{W_y}</math> del sistema in catena chiusa può essere contenuta solo riducendo la sensibilità <math>S(s)</math>.
22 Possibili andamenti in frequenza del modulo della sensibilità <math>S(s)</math> del sistema[1]

In presenza di ingressi e/o disturbi sinusoidali, la sensibilità <math>S(s)</math> è bassa solo in bassa frequenza:

  • 23-26 il sistema riesce ad inseguire con buona precisione un ingresso di riferimento sinusoidale <math>r(t)</math>:
    <math>r(t)= \sin{\left( \omega_0 t \right)}</math>
solo se la pulsazione <math>\omega_0</math> del segnale è a bassa frequenza:
<math>S(s) \equiv W_{e,y} (s) = \frac{e(s)}{y_{\text{des}} (s)} \Rightarrow E = \left| W_e \left( j \omega_0 \right) \right| = \left| K_r \right| \left| W_{e,y} \left( j \omega_0 \right) \right| = \left| K_r \right| \left| S \left( j \omega_0 \right) \right|</math>
  • 24-27 il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale <math>{d_y}_{\text{sin}} (t)</math> posto sull'uscita <math>y(t)</math>:
<math>{d_y}_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}</math>
solo se la pulsazione <math>\omega_d</math> del segnale è a bassa frequenza:
<math>S(s) \equiv W_{{d_y}_{\text{sin}}} (s) = \frac{{d_y}_{\text{sin}} (s)}{y(s)} \Rightarrow Y_{d,p} = D_s \left| W_{{d_y}_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right| = D_s \left| S \left( j \omega_d \right) \right|</math>
  • 25-28 il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale <math>{d_u}_{\text{sin}} (t)</math> posto sul comando <math>u(t)</math>:
<math>{d_u}_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}</math>
solo se la pulsazione <math>\omega_d</math> del segnale è a bassa frequenza:
<math>S(s) \equiv W_{{d_u}_{\text{sin}}} (s) = \frac{{d_u}_{\text{sin}} (s)}{u(s)} \Rightarrow Y_{d,p} = D_s \left| W_{{d_u}_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right| = D_s \left| S \left( j \omega_d \right) \right|</math>

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica | modifica sorgente]

21-33 La sensibilità <math>S(s)</math> attraversa l'asse a 0 dB in un intorno della pulsazione di taglio <math>\omega_c</math> della funzione <math>G_a (s)</math> → se si vuole imporre che la sensibilità attraversi l'asse a 0 dB a una pulsazione inferiore a una data <math>\omega_M</math>, è necessario scegliere una pulsazione di taglio desiderata <math>{\omega_c}_{\text{des}}</math> abbastanza superiore a <math>\omega_M</math>, ma non eccessivamente per non allargare troppo la banda <math>\omega_B</math>. Come prima scelta:

<math>\left| S \left( j \omega \right) \right| < 1 \text{ per } \omega < \omega_M \Rightarrow {\omega_c}_{\text{des}} = 1,5 \omega_M</math>

38-46 All'inserimento di una rete attenuatrice, la sensibilità <math>S(s)</math> del sistema aumenta nell'intervallo di pulsazioni in cui il modulo della funzione d'anello <math>G_a(s)</math> è diminuito → è opportuno evitare di collocare le reti attenuatrici a pulsazioni <math>x_i</math> troppo basse.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Alle medie frequenze l'esatto andamento dipende dagli effettivi valori assunti dal modulo della funzione d'anello <math>G_a(s)</math>.
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