Controlli automatici/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

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B10. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto	Controlli automatici (B. Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI)	C12. Equilibrio di sistemi dinamici

8-9 Un sistema dinamico LTI a tempo discreto con ingressi nulli ha equazione di stato:

<math>x \left( k+1 \right) = A x (k) \Rightarrow x \left( k \right) = x_\ell (k) = A^k x \left( 0 \right) = \underbrace{T {\tilde A}^k T^{-1}}_{A^k} x \left( 0 \right)</math>

Autovalori semplici

Autovalori reali semplici

14 I blocchi di <math>{\tilde A}^k</math> corrispondenti a <math>n</math> autovalori reali distinti <math>\lambda_i</math> hanno forma diagonale:

<math>\begin{bmatrix} {\lambda_1}^k & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & {\lambda_2 }^k & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\lambda_{n-1}}^k & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {\lambda_n }^k \end{bmatrix}</math>

15 e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo <math>{\lambda_i}^k</math>, che possono essere:

• geometricamente convergenti se <math>\left| \lambda_i \right| < 1</math> (es. <math>{0,5}^k</math>, <math>{\left( -0,5 \right)}^k</math>);
• limitati se <math>\left| \lambda_i \right| = 1</math> (es. <math>1^k = 1</math>, <math>{\left( -1 \right)}^k</math>);
• geometricamente divergenti se <math>\left| \lambda_i \right| > 1</math> (es. <math>2^k</math>, <math>{\left( -2 \right)}^k</math>).

Autovalori complessi semplici

16 I blocchi di <math>{\tilde A}^k</math> corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo <math>\lambda = \upsilon e^{ \pm j \theta}</math> hanno la forma:

<math>\upsilon^k \begin{bmatrix} \cos{\left( \theta k \right)} & \sin{\left( \theta k \right)} \\ - \sin{\left( \theta k \right)} & \cos{\left( \theta k \right)} \end{bmatrix}</math>

17 e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo <math>\upsilon^k \cos{\left( \theta k \right)}</math> e <math>\upsilon^k \sin{\left( \theta t \right)}</math>, che possono essere:

• geometricamente convergenti se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon < 1</math> (es. <math>{0,5}^k \sin{k}</math>);
• limitati (oscillanti) se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon = 1 \wedge \arg{\left( \lambda \right)} = \theta \neq 0</math> (es. <math>\sin{k}</math>);
• geometricamente divergenti se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon > 1</math> (es. <math>{1,5}^k \sin{k}</math>).

Autovalori multipli

Autovalori reali multipli

18 I blocchi di <math>{\tilde A}^k</math> corrispondenti a un autovalore reale <math>\lambda</math> con molteplicità algebrica <math>\mu > 1</math> sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici del tipo:

<math>\begin{bmatrix} \lambda^k & k \lambda^k & \cdots & \frac{k \left( k-1 \right) \cdots \left( k - \mu' -2 \right)}{\left( \mu' -1 \right) !} \lambda^{k- \mu' -1} \\ 0 & \lambda^k & \cdots & \frac{k \left( k-1 \right) \cdots \left( k - \mu' -3 \right)}{\left( \mu' -2 \right) !} \lambda^{k- \mu' -2} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda k} \end{bmatrix}</math>

e danno origine a modi naturali contenenti <math>\mu' \leq \mu</math> termini del tipo <math>k^j \lambda^k</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 0</math>).

19 Se <math>\mu' > 1</math>, i modi naturali contenenti <math>\mu'</math> termini del tipo <math>k^j \lambda^k</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 1</math>) possono essere:

• geometricamente convergenti se <math>\left| \lambda \right| < 1</math> (es. <math>k \cdot {0,5}^k</math>, <math>k \cdot {\left( -0,5 \right)}^k</math>);
• polinomialmente divergenti se <math>\left| \lambda \right| = 1</math> (es. <math>1^k = k</math>);
• geometricamente divergenti se <math>\lambda > 1</math> (es. <math>k \cdot {1,5}^k</math>, <math>k \cdot {\left( -1,5 \right)}^k</math>).

Autovalori complessi multipli

20 I blocchi di <math>{\tilde A}^k</math> corrispondenti a una coppia di autovalori complessi <math>\lambda = \upsilon e^{\pm j \theta}</math> con molteplicità algebrica <math>\mu > 1</math> danno origine a modi naturali oscillanti contenenti <math>\mu' \leq \mu</math> termini del tipo <math>k^j \upsilon^k \cos{\left( \theta k \right)}</math> e <math>k^j \upsilon^k \sin{\left( \theta k \right)}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 0</math>).

21 Se <math>\mu' > 1</math>, i modi naturali del tipo <math>k^j \upsilon^k \cos{\left( \theta k \right)}</math> e <math>k^j \upsilon^k \sin{\left( \theta k \right)}</math> (<math>j = \mu' -1 , \ldots , 1</math>) possono essere:

• geometricamente convergenti se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon < 1</math> (es. <math>k {0,5}^k \sin{k}</math>);
• polinomialmente divergenti se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon = 1</math> (es. <math>k \sin{k}</math>);
• geometricamente divergenti se <math>\left| \lambda \right| = \upsilon > 1</math> (es. <math>k {1,5}^k \sin{k}</math>).

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