Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformata zeta
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![]() | ![]() | B8. Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta ![]() |
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- 2 Vantaggio rispetto alla DTFT
La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.
- Utilità
La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.
Indice
Definizione[modifica]
6 La trasformata zeta della sequenza
è un polinomio nella variabile
e con i campioni della sequenza
per coefficienti:
5 dove è una variabile complessa di modulo
e fase
, che può assumere valori in tutto il piano complesso:
Relazione con la DTFT[modifica]
4 La DTFT è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di
una circonferenza di raggio unitario:
7-8-9-10-11 Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.
Relazione con la DFT[modifica]
14 A partire dai campioni della DFT di una sequenza a supporto limitato
si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:
Sostituendo l'espressione della IDFT:
Analisi della regione di convergenza[modifica]
16 L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.
17 La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza è assolutamente sommabile:
La trasformata zeta della sequenza
equivale alla DTFT della sequenza
:
Per la condizione di esistenza della DTFT:
Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase ma solo dal modulo
.
- Esempio
- se
converge su tutto il piano complesso:
- se
diverge per
:
- se
diverge per
:
Sequenze unilatere e sequenze bilatere[modifica]
20 La ricerca della regione di convergenza di equivale alla ricerca della regione in cui la serie
risulta assolutamente sommabile:
- 21 la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio
sufficientemente piccolo;
- 22 la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio
sufficientemente grande.
- 19-23-24 Sequenze unilatere anti-causali
La parte causale è nulla → la trasformata zeta converge all'interno della circonferenza di raggio
:
- Sequenze unilatere causali
La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza di raggio
:
- Sequenze bilatere
Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:
- se
, la trasformata zeta
non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
- se
, la trasformata zeta
converge nella corona circolare tra
e
:
Regione di convergenza delle sequenze gradino[modifica]
25 Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:
ma regioni di convergenza differenti:
- il gradino
converge all'esterno della circonferenza unitaria:
;
- il gradino anti-causale
converge all'interno della circonferenza unitaria:
.
Regione di convergenza di sequenze a supporto finito[modifica]
30 La trasformata zeta di sequenze a supporto finito
:
- Sequenze unilatere causali (
)
La trasformata zeta converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine (
). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.
- Sequenze unilatere anti-causali (
)
La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito (
). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.
Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi[modifica]
32-33 Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:
- le radici
del numeratore sono gli zeri di
;
- le radici
del denominatore sono i poli di
.
- 34 Sequenze unilatere causali
La trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per
.
- 35 Sequenze unilatere anti-causali
La trasformata zeta converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.
- 36 Sequenze bilatere
La trasformata zeta converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.
Proprietà della trasformata zeta[modifica]
Sequenza | Trasformata zeta | Regione di convergenza | |
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43 Linearità | ![]() |
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44 Ritardo nel tempo | ![]() |
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Anticipo nel tempo | ![]() |
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45 Ribaltamento nel tempo | ![]() |
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46 Coniugazione complessa | ![]() |
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47 Scalamento nel dominio trasformato | ![]() |
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48 Derivata nel dominio trasformato | ![]() |
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50 Convoluzione nel tempo | ![]() |
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Parte reale | ![]() |
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Parte immaginaria | ![]() |
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Sequenza cosinusoidale | ![]() |
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Sequenza sinusoidale | ![]() |
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Trasformata zeta unilatera[modifica]
54 La trasformata zeta unilatera è la trasformata della parte causale della sequenza
:
Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta coincide con la trasformata zeta unilatera
.
Sequenza ![]() |
Trasformata zeta ![]() | |
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55 Ritardo nel tempo | ![]() |
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56 Anticipo nel tempo | ![]() |
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Teorema del valore iniziale[modifica]
57 Se è una sequenza causale:
Trasformata zeta di sequenze elementari[modifica]
Sequenza ![]() |
Trasformata zeta ![]() |
Regione di convergenza | Poli e zeri |
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Inversione della trasformata zeta[modifica]
72 L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:
dove è una curva di Jordan:
- percorsa in senso antiorario;
- appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta
;
- comprendente l'origine;
- comprendente
poli della funzione
.
Per il teorema di Cauchy:
73 Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli poli:
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