Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformazioni e spettro di potenza
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Trasformazioni lineari di processi casuali[modifica]
2 Un sistema deterministico che elabora un processo casuale fornisce alla sua uscita un processo casuale
.
5 Se il sistema è lineare, la media:
e la funzione di autocorrelazione:
dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso .[1]
Esempi[modifica]
- Integrale
- Derivata
8 È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo in ingresso è gaussiano, allora il processo
in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.
Trasformazioni lineari tempo-invarianti[modifica]
6 Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento , e il processo di ingresso
è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:
Si ricorda che la funzione di autocorrelazione è definita diversamente per i segnali determinati:
Trasformazioni lineari tempo-varianti[modifica]
Modulazione di ampiezza[modifica]
9 Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):
Sotto le ipotesi:
- il processo
è stazionario in senso lato;
- il valor medio
è nullo;
10 si ottiene:
11 Per stazionarizzare il processo in uscita , la fase
diventa una variabile casuale uniforme in
:
Modulazione di fase[modifica]
12-13 Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:
dove è la funzione caratteristica:
14 Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con variabile casuale uniforme in
:
La funzione caratteristica del processo gaussiano vale:
Siccome è stazionario in senso lato:
Inoltre:
15 Se la sinusoide portante è reale:
la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:
Densità spettrale di potenza[modifica]
17 La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, di un processo
stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione
:
Proprietà[modifica]
- 19
è reale e pari;
-
è sempre positiva;
- 18 lo spettro di potenza
di un processo
stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
- l'integrale di
coincide con la potenza media
del processo:
- dove
è il valore quadratico medio del processo.
Interpretazione fisica[modifica]
18 Se il sistema LTI è un filtro passabanda centrato alla frequenza
con banda infinitesimale
:
la densità spettrale , centrata in
, del processo in ingresso
è proporzionale alla potenza media del processo in uscita
:
Rumore gaussiano bianco[modifica]
20-21 Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura :
- il processo
è stazionario e gaussiano;
- il valor medio è nullo;
- la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
- la funzione di autocorrelazione
:
- è nulla per
→ qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
- diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo (
) → il processo ha potenza media infinita.
22 Quando un rumore gaussiano bianco entra in un sistema LTI
, il processo di uscita
è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:
Note[modifica]
- ↑ Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.
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