Teoria ed elaborazione dei segnali/Trasformazioni e spettro di potenza

Da WikiAppunti.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  A11. StazionarietàGtk-home.svg  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)A13. Medie temporali ed ergodicità  Gtk-go-forward-ltr.svg

Trasformazioni lineari di processi casuali[modifica]

2 Un sistema deterministico che elabora un processo casuale X \left( t \right) fornisce alla sua uscita un processo casuale Y \left( t \right).

5 Se il sistema è lineare, la media:

m_Y \left( t \right) \triangleq E \left( Y \left( t \right) \right)

e la funzione di autocorrelazione:

R_Y \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( Y \left( t_1 \right) Y^* \left( t_2 \right) \right)

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso X \left( t \right).[1]

Esempi[modifica]

Integrale
Y \left( t \right) = \int_{T_1}^{t} X \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \int_{T_1}^t m_X \left( a \right) da \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \int_{T_1}^{t_1} \int_{T_1}^{t_2} R_X \left( a , b \right) da db \end{cases}
Derivata
Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} X \left( t \right) \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} m_X \left( t \right) \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_2} R_X \left( t_1 , t_2 \right) \end{cases}

8 È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo X \left( t \right) in ingresso è gaussiano, allora il processo Y \left( t \right) in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti[modifica]

6 Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento H \left( f \right), e il processo di ingresso X \left( t \right) è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

  • m_Y = m_X H \left( 0 \right) = m_X \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau \right) d \tau
  • R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right)
  • R_{XY} \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * h \left( \tau \right)

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione R è definita diversamente per i segnali determinati:

R_h \left( \tau \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( t + \tau \right) h^* \left( t \right) dt

Trasformazioni lineari tempo-varianti[modifica]

Modulazione di ampiezza[modifica]

9 Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso M \left( t \right) (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

Y \left( t \right) = \left[ a_0 + a_1 M \left( t \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t + \theta \right)}

Sotto le ipotesi:

  • il processo M \left( t \right) è stazionario in senso lato;
  • il valor medio E \left[ M \left( t \right) \right] è nullo;

10 si ottiene:

\begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_1 E \left[ M \left( t \right) \right] \cos{ \left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } + a_0 \cos {\left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( t_1 - t_2 \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t_1 + \varphi \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t_2 + \varphi \right)}} \end{cases}

11 Per stazionarizzare il processo in uscita Y \left( t \right), la fase \varphi diventa una variabile casuale uniforme in \left[ - \pi , \pi \right]:

\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\
R_{Y'} \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{1}{2} \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( \tau \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 \tau \right)} \end{cases}

Modulazione di fase[modifica]

12-13 Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

Y \left( t \right) = a_0 e^{j \left[ a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right]} \Rightarrow  \begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_0 E \left[ a_0 e^{j a_2 M \left( t \right)} e^{j \left( a_1 t + \theta \right)} \right] \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = a_0^2 e^{j a_1 \left( t_1 - t_2 \right)} C_{\xi} \left( a_2 \right) , \quad \xi = M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \end{cases}

dove C_{\xi} \left( a \right) è la funzione caratteristica:

C_{\xi} \left( a \right) \triangleq E \left( e^{j a \xi} \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{jax} f_{\xi} \left( x \right) dx

14 Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con \theta variabile casuale uniforme in \left[ - \pi , \pi \right]:

\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\
R_{Y'} \left( \tau \right) = a_0^2 e^{ja_1 \tau} e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]} \end{cases}
Dimostrazione

La funzione caratteristica del processo gaussiano \xi vale:

\mathcal{F} \left\{ f_{\xi} \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{\xi} \left( t \right) e^{-j 2 \pi f t} dt = \mathcal{F} \left\{ \frac{1}{\sqrt{2 \pi {\sigma}_{\xi}^2}} e^{- \frac{1}{2} {\left[ \frac{t - m_{\xi}}{{\sigma}_{\xi}} \right]}^2} \right\} = e^{- \frac{1}{2} {\left( 2 \pi f {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j 2 \pi f m_{\xi}} \Rightarrow C_{\xi} \left( a_2 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ja_2 x} f_{\xi} \left( x \right) dx = e^{- \frac{1}{2} {\left( a_2 {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j a_2 m_{\xi}} =

Siccome \xi è stazionario in senso lato:

m_{\xi} = E \left( \xi \right) = 0

Inoltre:

{\sigma}_{\xi}^2 = E \left[ \xi^2 \right] = E \left[ {\left( M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \right)}^2 \right] = E \left[ \left( M \left( t_1 \right) \right) \left( M \left( t_1 \right) \right) \right] + E \left[ \left( M \left( t_2 \right) \right) \left( M \left( t_2 \right) \right) \right] - E \left[ M \left( t_1 \right) M \left( t_2 \right) \right] = R_{M} \left( 0 \right) + R_{M} \left( 0 \right) - 2 R_{M} \left( t_1 - t_2 \right)
= e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}

15 Se la sinusoide portante è reale:

Y \left( t \right) = a_0 \cos{\left( a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right)}

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

R_{Y'} \left( \tau \right) = \frac{1}{2} a_0^2 \cos{\left( a_1 \tau \right) e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}}

Densità spettrale di potenza[modifica]

17 La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, S_X \left( f \right) di un processo X \left( t \right) stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione R_X \left( \tau \right):

S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = \int R_X \left( \tau \right) e^{-j2 \pi f \tau} d \tau

Proprietà[modifica]

  • 19 S_X \left( f \right) è reale e pari;
  • S_X \left( f \right) è sempre positiva;
  • 18 lo spettro di potenza S_Y \left( \tau \right) di un processo Y \left( t \right) stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
    R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right) \Rightarrow S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right)
  • l'integrale di S_X \left( f \right) coincide con la potenza media P \left[ X \left( t \right) \right] del processo:
    P \left[ X \left( t \right) \right] = \int S_X \left( f \right) df = R_X \left( 0 \right) = E \left[ X^2 \left( t \right) \right]
dove E \left[ X^2 \left( t \right) \right] è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisica[modifica]

18 Se il sistema LTI è un filtro H \left( f \right) passabanda centrato alla frequenza f_0 con banda infinitesimale \Delta:

Power spectrum physical interpretation.png

la densità spettrale S_X \left( f_0 \right), centrata in f_0, del processo in ingresso X \left( f \right) è proporzionale alla potenza media del processo in uscita Y \left( f \right):

E \left[ Y^2 \left( t \right) \right] = \int S_Y \left( f \right) df \approx 2 \Delta S_X \left( f_0 \right)

Rumore gaussiano bianco[modifica]

WGN power spectrum.png

20-21 Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura T:

  • il processo X \left( t \right) è stazionario e gaussiano;
  • il valor medio è nullo;
  • la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
    S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} , \quad N_0 = k_B T
  • la funzione di autocorrelazione R_X \left( \tau \right):
    R_X \left( \tau \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \frac{N_0}{2} \delta \left( \tau \right)
    • è nulla per \tau = t_2 - t_1 \neq 0 → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
    • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo (\tau = t_2 - t_1 = 0) → il processo ha potenza media infinita.

22 Quando un rumore gaussiano bianco X \left( t \right) entra in un sistema LTI H \left( f \right), il processo di uscita Y \left( t \right) è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} {\left| H \left( f \right) \right|}^2

Note[modifica]

  1. Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  A11. StazionarietàGtk-home.svg  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)A13. Medie temporali ed ergodicità  Gtk-go-forward-ltr.svg