Teoria ed elaborazione dei segnali/Segnali e vettori

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3 Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

5 Operazioni sui segnali
  • trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
  • memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
  • elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...
Esempi di segnali
  • 4 segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
  • 6 segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
  • 15 segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

17 Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

18 In generale, una sequenza <math>f_n</math> o <math>f \left( n \right)</math> è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione <math>f</math>.

21 Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

  • 19 campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento <math>\Delta t</math> scelto;
  • 20 quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

22 Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continui[modifica | modifica sorgente]

28 Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa <math>x \left( t \right)</math>, che si rappresenta graficamente nelle due parti reale <math>x_R \left( t \right)</math> e immaginaria <math>x_I \left( t \right)</math>.

29 Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito <math>\left( a , \, b \right)</math> detto supporto.

30 Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

35 Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

31 I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza media[modifica | modifica sorgente]

32 L'energia di un segnale <math>x \left( t \right)</math> vale:

<math>E \left( x \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x \right| }^2 dt</math>

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

<math>P \left( x \right) \triangleq \lim_{a \rightarrow + \infty} \frac {1} {2a} \int_{-a}^{a} { \left| x \right| }^2 dt</math>

In questo caso <math>{\left| x \right|}^2 = x x^*</math> è detta potenza istantanea.

35 Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

Periodicità[modifica | modifica sorgente]

36 Un segnale è periodico di periodo <math>T</math> e funzione <math>x \left( t \right)</math>:

<math>x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right)</math>

se vale la proprietà seguente:

<math>\exists T : \, x \left( t \right) = x \left( t + T \right) \; \forall t</math>

40 Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo <math>T \rightarrow + \infty</math>.

Energia

37 L'energia <math>E \left( x \left( t \right) \right)</math> di un segnale periodico è infinita.[1]

Dimostrazione
<math>E \left( x \left( t \right) \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left
Potenza media

La potenza media <math>P \left( x \left( t \right) \right)</math> di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo <math>E \left( x_T \left( t \right) \right)</math>:

<math>P \left( x \left( t \right) \right) = \frac{1}{T} E \left( x_T \left( t \right) \right)</math>
Dimostrazione
x_T \left( t - n T \right) \right

41 La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnali[modifica | modifica sorgente]

44 Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

Distanza[modifica | modifica sorgente]

42 Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

  • non negativa: <math>d \left( x , y \right) \geq 0 \; \forall x , \, y</math>
  • simmetrica: <math>d \left( x , y \right) = d \left( y , x \right)</math>
  • <math>d \left( x , y \right) = 0 \Rightarrow x = y</math>
  • disuguaglianza triangolare: <math>d \left( x , z \right) \leq d \left( x , y \right) + d \left( y , z \right)</math>

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

41 La distanza è utile nel confronto di due segnali <math>x \left( t \right)</math> e <math> y \left( t \right)</math>:

<math>d \left( x , y \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x - y \right| dt</math>

Si usa di solito la distanza euclidea:

<math>d \left( x , y \right) = \left \| x - y \right \|_{2} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt}</math>

Prodotto scalare[modifica | modifica sorgente]

53 Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

<math>\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle = \langle \left( x_1 , \ldots , x_n \right) , \left( y_1 , \ldots , y_n \right) \rangle \triangleq \sum_{i = 1}^n x_i y_i^* \in \mathbb{C} , \quad \mathbf x , \mathbf y \in {\mathbb{C}}^n</math>

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

<math>\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt</math>

Norma[modifica | modifica sorgente]

55 La norma nello spazio dei segnali è così definita:

<math>\| x \| \triangleq \sqrt{\langle x , x \rangle} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} x x^* dt}</math>

56 e ricordando che nei numeri complessi vale <math>{\left| z \right|}^2 = z z^*</math>:

<math>\| x \| = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \right|}^2 dt} = \sqrt{E \left( x \right)} \Rightarrow E \left( x \right) = {\| x \|}^2</math>

Ortogonalità[modifica | modifica sorgente]

57 Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

<math>{\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 \leq {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2</math>

da cui deriva:

<math>0 \leq \frac{\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle}{\| \mathbf x \| \| \mathbf y \|} \leq 1</math>

L'uguaglianza vale quando <math>\mathbf x</math> e <math>\mathbf y</math> sono proporzionali:

<math>{\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 = {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2 \Leftrightarrow \mathbf x = \alpha \mathbf y</math>

59 L'angolo <math>\theta</math> tra due segnali <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math> è così definito:

<math>\cos{\theta} \triangleq \frac{\langle x , y \rangle}{\| x \| \| y \|}</math>

Due segnali <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math> si dicono ortogonali tra loro se l'angolo <math>\theta</math> è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:[2]

<math>\theta = 0 \Rightarrow \langle x , y \rangle = 0</math>

60 L'energia della somma di due segnali <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math> è data da:

<math>E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right) + 2 \Re{\langle x , y \rangle}</math>
Dimostrazione
<math>{\

Se i due segnali sono ortogonali:

<math>\langle x , y \rangle = 0 \Rightarrow E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right)</math>

Basi ortonormali[modifica | modifica sorgente]

62 Una coppia di vettori <math>\left( {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \right)</math> appartiene a una base ortonormale se e solo se:

  • <math>{\mathbf w}_i</math> e <math>{\mathbf w}_j</math> sono ortogonali tra loro:
    <math>\langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = 0 \quad \forall i \neq j</math>
  • <math>{\mathbf w}_i</math> e <math>{\mathbf w}_j</math> hanno entrambi norma unitaria:
    <math>\| {\mathbf w}_i \| = 1 \quad \forall i</math>

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

<math>\langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = \delta_{ij}</math>

dove <math>\delta_{ij}</math> è la delta di Kronecker:

<math>\delta_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{se} \; i = j \\

0 \quad \text{altrimenti} \end{cases}</math>

63 Data una base ortonormale <math>\left( {\mathbf w}_1, \ldots, {\mathbf w}_n \right)</math>, un generico vettore <math>\mathbf x</math> può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

<math>\mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right) = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i = \sum_{i = 1}^n x_i {\mathbf w}_i</math>

71 Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo <math>\theta</math> a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

<math>\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \times \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ - \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix} = \left\{ \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} \right\}</math>

66 Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a <math>n</math> dimensioni, associando a ogni segnale <math>x \left( t \right)</math> il vettore <math>\mathbf x</math> a <math>n</math> dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

<math>x \left( t \right) = \sum_{i = 1}^n x_i w_i \left( t \right) \longleftrightarrow \mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right)</math>

Approssimazione di un segnale[modifica | modifica sorgente]

68 Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico <math>\mathbf x</math> a un segnale <math>\mathbf{\hat{x}}</math>, formato dalla combinazione lineare dei versori <math>{\mathbf w}_i</math> che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite <math>n</math>. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico <math>\mathbf x</math> stesso e i versori <math>{\mathbf w}_i</math> della base:

<math>\mathbf{\hat{x}} = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i</math>

Semplificazione formule[3][modifica | modifica sorgente]

Definendo una base ortonormale di <math>n</math> elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

64 Prodotto scalare
<math>\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt = \sum_{i = 1}^n x_i y_i^*</math>
Dimostrazione
63-65 Energia
<math>E \left( x \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x \right| }^2 dt = \sum_{i = 1}^n {\left| x_i \right|}^2</math>
Dimostrazione
\langle x , w_i \rangle \right
65 Distanza
<math>d \left( x , y \right) \triangleq \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {\left| x_i - y_i \right|}^2}</math>
Definizione Segnale Vettore
Prodotto scalare <math>\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle</math> <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt</math> <math>\sum_{i=1}^n x_i y_i^*</math>
Energia <math>E \left( \mathbf x \right) \triangleq \langle \mathbf x , \mathbf x \rangle</math> x \left( t \right) \right|}^2 dt</math> x_i \right|}^2</math>
Norma \mathbf x \right\| \triangleq \sqrt{E \left( \mathbf x \right)} = \sqrt{\langle \mathbf x, \mathbf x \rangle}</math> x \left( t \right) \right|}^2 dt}</math> x_i \right|}^2}</math>
Distanza \mathbf x - \mathbf y \right\|</math> x \left( t \right) - y \left( t \right) \right|}^2 dt}</math> x_i - y_i \right|}^2}</math>

Procedura di Gram-Schmidt[modifica | modifica sorgente]

In questo esempio il segnale <math>\mathbf x</math> viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori <math>{\mathbf w}_1</math> e <math>{\mathbf w}_2</math>.

69 Il segnale <math>\mathbf x</math> perde un po' di energia nella proiezione su <math>\mathbf{\hat{x}}</math>:

<math>E \left( \mathbf e \right) = E \left( \mathbf x \right) - \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2 \geq 0 \, , \quad \mathbf e = \mathbf x - \mathbf{\hat{x}}</math>
Dimostrazione

\right) = </math>

Poiché il segnale errore <math>\mathbf e</math>, che è il segnale differenza, è ortogonale al segnale approssimante <math>\mathbf {\hat{x}}</math>:

<math>= E \left( \mathbf e \right) + E \left( \mathbf{\hat{x}} \right) = E \left( \mathbf e \right) + \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2</math>

}}

70 Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

<math>E \left( \mathbf x \right) \geq \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2</math>

Se il segnale <math>\mathbf x</math> è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

<math>E \left( \mathbf x \right) = \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2</math>

72-73 In uno spazio vettoriale a <math>M</math> dimensioni, cioè di cardinalità <math>M</math>, si ha un insieme finito di vettori <math>\left\{ {\mathbf x}_1 , {\mathbf x}_2 , \ldots , {\mathbf x}_M \right\}</math>. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero <math>N \leq M</math>, detto dimensionalità, di versori <math>\left\{ {\mathbf w}_1 , {\mathbf w}_2 , \ldots , {\mathbf w}_N \right\}</math>, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

<math>\begin{array}{l}

{\mathbf w}_1 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_1 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_1 = {\mathbf x}_1 \\ {\mathbf w}_2 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_2 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_2 - {\mathbf{\hat{x}}}_2 = {\mathbf x}_2 - \langle {\mathbf x}_2 , {\mathbf w}_1 \rangle {\mathbf w}_1 \\ \vdots \\ {\mathbf w}_i \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_i \| = {\mathbf{\hat{w}}}_i = {\mathbf x}_i - {\mathbf{\hat{x}}}_i = {\mathbf x}_i - \sum_{k=1}^{i - 1} \langle {\mathbf x}_i , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k \\ \vdots \\ {\mathbf w}_N \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_N \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_N - {\mathbf{\hat{x}}}_N = {\mathbf x}_N - \sum_{k=1}^{N - 1} \langle {\mathbf x}_N , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k \end{array}</math>

75 L'algoritmo termina alla <math>N</math>-esima iterazione quando il vettore errore <math>\mathbf e</math> è nullo, ovvero quando il vettore proiezione <math>\mathbf{\hat{x}}_N</math> è linearmente dipendente rispetto al vettore <math>{\mathbf{x}}_N</math> e non si genera un nuovo versore. Se <math>N < M</math> significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità <math>N</math> non varia.

74 Esempio

Si considerano due vettori <math>{\mathbf x}_1</math> e <math>{\mathbf x}_2</math> nello spazio bidimensionale (<math>M = 2</math>):

Gram-Schmidt process (step 1).png

1) viene scelto per primo il vettore <math>{\mathbf x}_1</math>:

Gram-Schmidt process (case A, steps 2-3).png

2) viene scelto per primo il vettore <math>{\mathbf x}_2</math>:

Gram-Schmidt process (case B, step 2-3).png

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Nel caso ultraparticolare di un segnale identicamente nullo, l'energia converge a 0.
  2. Si suppone che le energie di <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math> non siano identicamente nulle.
  3. In questa sezione si ritorna temporaneamente per comodità alla vecchia notazione per i segnali.
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