Teoria ed elaborazione dei segnali/Progetto di filtri FIR

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Rotazione di fase lineare[modifica]

4 Un filtro FIR non causale può essere reso causale semplicemente ritardandone la risposta all'impulso (che è a supporto finito) in modo che tutti i campioni siano a destra dell'asse delle ordinate (). Il ritardo temporale di campioni conduce ad una nuova sequenza che introduce in frequenza solo una rotazione di fase lineare:

senza variare il modulo della risposta in frequenza, e di conseguenza senza variare la maschera del filtro .

3 La rotazione di fase lineare introdotta introduce un ritardo costante sulla sequenza di ingresso:

Nel caso la risposta all'impulso abbia simmetria pari o dispari rispetto all'asse delle ordinate, con conseguente simmetria pari della risposta in frequenza , allora basta determinare il nuovo asse di simmetria della risposta all'impulso traslata .

Tecniche a finestra[modifica]

6 La risposta all'impulso , ottenuta mediante IDTFT della risposta in frequenza , oltre a non essere causale è solitamente di durata infinita → affinché il filtro sia fisicamente realizzabile, la risposta all'impulso deve essere troncata tramite una finestra.

Finestra rettangolare[modifica]

8 Alla risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale (provvista di rotazione di fase lineare):

9 corrisponde una risposta all'impulso a supporto infinito (traslata):

Window function – Rectangular.svg

10-12 La risposta all'impulso viene troncata a un numero finito di campioni con la moltiplicazione per la porta (finestra rettangolare):

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Una troncatura così brutale però si manifesta in frequenza con la comparsa di oscillazioni (effetto di Gibbs):

dove:

15 Osservazioni
  • L'ampiezza massima delle oscillazioni in banda attenuata coincide con l'ampiezza massima delle oscillazioni in banda passante.
  • All'aumentare di aumenta la frequenza di ripetizione delle oscillazioni, non la loro ampiezza massima → la riduzione dell'oscillazione massima nella risposta in frequenza può essere ottenuta solamente cambiando il tipo di finestra di troncamento, non la sua lunghezza.

Finestra di Bartlett[modifica]

Window function and frequency response - Triangular.svg

18 La finestra di Bartlett riduce leggermente le oscillazioni:

Finestra di Hanning[modifica]

Window function and frequency response - Hann.svg

19 La finestra di Hanning è una funzione triangolo, e riduce ulteriormente le oscillazioni:

Finestra di Hamming[modifica]

Window function and frequency response - Hamming (alpha = 0.53836).svg

20 La finestra di Hamming è una finestra di Hanning più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:

Finestra di Blackman[modifica]

Window function and frequency response - Blackman.svg

21 La finestra di Blackman è una finestra di Hamming più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:


22 Un aumento della minima attenuazione in banda attenuata si paga però con l'aumento della banda di transizione :

Finestra Banda di transizione Minima attenuazione in banda attenuata
Rettangolare
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
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