Teoria ed elaborazione dei segnali/Medie temporali ed ergodicità

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11 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

Media[modifica | modifica sorgente]

Media d'insieme di un processo casuale[modifica | modifica sorgente]

5 Dato un processo casuale <math>X \left( t \right)</math> ed una qualsiasi funzione <math>g</math>, la media d'insieme:

<math>E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g \left( x \left( t \right) \right) f_X \left( x \left( t \right) \right) d x</math>

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo <math>X \left( t \right)</math>, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

<math>E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \sideset{}{_i}\sum{g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] P \left[ x \left( t ; s_i \right) \right]}</math>

Media temporale[modifica | modifica sorgente]

Media temporale di un segnale determinato[modifica | modifica sorgente]

2 Dato un segnale determinato <math>x \left( t \right)</math> ed una qualsiasi funzione <math>g</math>, l'operatore di media temporale è definito:[1]

<math>\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t \right) \right] dt</math>
3 Valor medio
<math>\overline{x} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) dt = \langle x \left( t \right) \rangle</math>
Potenza media
<math>P \left( x \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \langle {\left| x \left( t \right) \right|}^2 \rangle</math>

Media temporale di più segnali determinati[modifica | modifica sorgente]

7 La media temporale di una funzione <math>g</math> di <math>n</math> segnali <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di <math>n - 1</math> variabili <math>\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1}</math> (la variabile <math>t</math> viene integrata):

<math>\langle g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] dt</math>

Media temporale di una realizzazione[modifica | modifica sorgente]

4 Siccome una specifica realizzazione <math>g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right]</math> di un processo casuale <math>X \left( t \right)</math> è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

<math>\langle g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] dt</math>

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

6 Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

<math>\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle = \langle {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right| }^2 \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right|}^2 dt</math>

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[non chiaro]

<math>\left. E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] \right \vert_{t = t_i} = E \left( {\left| X \left( t_i \right) \right|}^2 \right)</math>

Ergodicità per la media[modifica | modifica sorgente]

10 Un processo <math>X \left( t \right)</math> è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

<math>E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \langle g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] \rangle \quad \forall i</math>

14 Nel caso di <math>g</math> funzione identità, se l'autocovarianza <math>K_X \left( \tau \right)</math> è modulo integrabile il processo <math>X \left( t \right)</math> è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietà[modifica | modifica sorgente]

  • Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

5-9 L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi
  • 12 se il processo <math>\mathcal{P}</math> contiene tutte le traslazioni di un segnale <math>x \left( t \right)</math>, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
<math>\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) \quad \forall t_1 \right\}</math>
  • se il processo <math>\mathcal{P}</math> contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math>, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di <math>x \left( t \right)</math> o di <math>y \left( t \right)</math>:
<math>\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) , y \left( t + t_2 \right) \quad \forall t_1, t_2 \right\}</math>
  • 13 segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
  • rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Autocorrelazione[modifica | modifica sorgente]

8 Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

  • autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:
    <math>\Phi_x \left( \tau \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ G_x \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) \rangle</math>
  • autocorrelazione per processi casuali:
    <math>R_X \left( \tau \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) X^* \left( t + \tau \right) \right)</math>

Ergodicità per l'autocorrelazione[modifica | modifica sorgente]

15 Un processo <math>X \left( t \right)</math> è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione <math>R_X \left( \tau \right)</math> coincide con l'autocorrelazione <math>\Phi_x \left( \tau \right)</math> di una sua qualsiasi realizzazione:

<math>R_X \left( \tau \right) = \Phi_x \left( \tau \right) \quad \forall i</math>

dove <math>\Phi_x \left( \tau \right)</math> è l'autocorrelazione della realizzazione <math>X \left( t ; s_i \right)</math>:

<math>\Phi_x \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( t + \tau ; s_i \right) X^* \left( t ; s_i \right) dt</math>

Se il processo <math>X \left( t \right)</math> è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza <math>S_X \left( f \right)</math> può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

<math>S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = G_x \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \Phi_x \left( \tau \right) \right\}</math>

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà[modifica | modifica sorgente]

  • Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione <math>\Phi_x \left( \tau \right)</math> se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione <math>R_X \left( \tau \right)</math> dipende solo da <math>\tau</math>.

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
  2. Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
  3. Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura <math>T</math>.
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