Teoria ed elaborazione dei segnali/Medie temporali ed ergodicità

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11 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

Media[modifica]

Media d'insieme di un processo casuale[modifica]

5 Dato un processo casuale X \left( t \right) ed una qualsiasi funzione g, la media d'insieme:

E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g \left( x \left( t \right) \right) f_X \left( x \left( t \right) \right) d x

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo X \left( t \right), e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \sideset{}{_i}\sum{g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] P \left[ x \left( t ; s_i \right) \right]}

Media temporale[modifica]

Media temporale di un segnale determinato[modifica]

2 Dato un segnale determinato x \left( t \right) ed una qualsiasi funzione g, l'operatore di media temporale è definito:[1]

\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t \right) \right] dt
3 Valor medio
\overline{x} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) dt = \langle x \left( t \right) \rangle
Potenza media
P \left( x \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \langle {\left| x \left( t \right) \right|}^2 \rangle

Media temporale di più segnali determinati[modifica]

7 La media temporale di una funzione g di n segnali x_1, x_2, \ldots, x_n, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di n - 1 variabili \tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1} (la variabile t viene integrata):

\langle g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right]  \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] dt

Media temporale di una realizzazione[modifica]

4 Siccome una specifica realizzazione g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] di un processo casuale X \left( t \right) è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

\langle g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] dt

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

6 Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle = \langle {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right| }^2 \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right|}^2 dt

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[non chiaro]

\left. E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] \right \vert_{t = t_i} = E \left( {\left| X \left( t_i \right) \right|}^2 \right)

Ergodicità per la media[modifica]

10 Un processo X \left( t \right) è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \langle g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] \rangle \quad \forall i

14 Nel caso di g funzione identità, se l'autocovarianza K_X \left( \tau \right) è modulo integrabile il processo X \left( t \right) è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietà[modifica]

  • Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

5-9 L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi
  • 12 se il processo \mathcal{P} contiene tutte le traslazioni di un segnale x \left( t \right), e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right)  \quad \forall t_1 \right\}
  • se il processo \mathcal{P} contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi x \left( t \right) e y \left( t \right), e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di x \left( t \right) o di y \left( t \right):
\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) , y \left( t + t_2 \right) \quad \forall t_1, t_2 \right\}
  • 13 segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
  • rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Autocorrelazione[modifica]

8 Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

Ergodicità per l'autocorrelazione[modifica]

15 Un processo X \left( t \right) è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione R_X \left( \tau \right) coincide con l'autocorrelazione \Phi_x \left( \tau \right) di una sua qualsiasi realizzazione:

R_X \left( \tau \right) = \Phi_x \left( \tau \right) \quad \forall i

dove \Phi_x \left( \tau \right) è l'autocorrelazione della realizzazione X \left( t ; s_i \right):

\Phi_x \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( t + \tau ; s_i \right) X^* \left( t ; s_i \right) dt

Se il processo X \left( t \right) è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza S_X \left( f \right) può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = G_x \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \Phi_x \left( \tau \right) \right\}

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà[modifica]

  • Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione \Phi_x \left( \tau \right) se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione R_X \left( \tau \right) dipende solo da \tau.

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.

Note[modifica]

  1. Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
  2. Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
  3. Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura T.
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