Teoria ed elaborazione dei segnali/Medie temporali ed ergodicità

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11 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

Media[modifica]

Media d'insieme di un processo casuale[modifica]

5 Dato un processo casuale ed una qualsiasi funzione , la media d'insieme:

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo , e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

Media temporale[modifica]

Media temporale di un segnale determinato[modifica]

2 Dato un segnale determinato ed una qualsiasi funzione , l'operatore di media temporale è definito:[1]

3 Valor medio
Potenza media

Media temporale di più segnali determinati[modifica]

7 La media temporale di una funzione di segnali , valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di variabili (la variabile viene integrata):

Media temporale di una realizzazione[modifica]

4 Siccome una specifica realizzazione di un processo casuale è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

6 Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[non chiaro]

Ergodicità per la media[modifica]

10 Un processo è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

14 Nel caso di funzione identità, se l'autocovarianza è modulo integrabile il processo è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietà[modifica]

  • Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

5-9 L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi
  • 12 se il processo contiene tutte le traslazioni di un segnale , e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
  • se il processo contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi e , e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di o di :
  • 13 segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
  • rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Autocorrelazione[modifica]

8 Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

  • autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:
  • autocorrelazione per processi casuali:

Ergodicità per l'autocorrelazione[modifica]

15 Un processo è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione coincide con l'autocorrelazione di una sua qualsiasi realizzazione:

dove è l'autocorrelazione della realizzazione :

Se il processo è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà[modifica]

  • Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione dipende solo da .

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.

Note[modifica]

  1. Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
  2. Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
  3. Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura .
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