Teoria ed elaborazione dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

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2 Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

\begin{cases} y \left( n \right) = h \left( n \right) * x \left( n \right) \\
Y \left( z \right) = H \left( z \right) X \left( z \right) \end{cases}
Interconnessione di sistemi LTI
34 Serie Series block diagram interconnection (discrete-time).png y \left( n \right) = x \left( n \right) * h_1 \left( n \right) * h_2 \left( n \right)
Y \left( z \right) = X \left( z \right) H_1 \left( z \right) H_2 \left( z \right)
34 Parallelo Parallel block diagram interconnection (discrete-time).png y \left( n \right) = x \left( n \right) * \left[ h_1 \left( n \right) + h_2 \left( n \right) \right]
Y \left( z \right) = X \left( z \right) \left[ H_1 \left( z \right) + H_2 \left( z \right) \right]
35 Con reazione Feedback block diagram interconnection (discrete-time).png y \left( n \right) = \left[ x \left( n \right) - y \left( n \right) * h_2 \left( n \right) \right] * h_1 \left( n \right)
Y \left( z \right) = X \left( z \right) \frac{H_1 \left( z \right)}{1 + H_1 \left( z \right) H_2 \left( z \right)}

3 La regione di convergenza della trasformata Y \left( z \right) coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni X \left( z \right) e H \left( z \right) (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitali[modifica]

4 Un filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:

\begin{cases} y \left( n \right) = \overbrace{- \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right)}^{\text{ricorsivo}} + \overbrace{\sum_{k=0}^N b_k x \left( n  - k \right)}^{\text{non ricorsivo}} \\
Y^+ \left( z \right) = \frac{\sum_{k=0}^N b_k z^{-k}}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}} X^+ \left( z \right) = H_N \left( z \right) H_R \left( z \right) X^+ \left( z \right) \end{cases}

Filtri FIR non ricorsivi[modifica]

6 Un sistema LTI causale con risposta all'impulso h \left( n \right) a supporto finito può essere descritto:

\begin{cases} y \left( n \right) = \sum_{k=0}^N b_k x \left( n  - k \right) \\
H_N \left( z \right) = \sum_{z =0}^N b_k z^{-k} \end{cases}
2 Vantaggi dei filtri FIR
  • Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:
    H \left( z \right) = \sum_{n=0}^{M-1} a_n z^{-n}

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

  • Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsivi[modifica]

7 Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

\begin{cases} y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) \\
H_R \left( z \right) = \frac{1}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}} \end{cases}
3 Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichi[modifica]

12 Se le condizioni iniziali y \left( - 1 \right), y \left( - 1 \right), \ldots , y \left( -M \right) non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di y \left( n \right) e x \left( n \right) presi in valori negativi (da -k a -1, con k>0):

\begin{cases} y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k=0}^N b_k x \left( n  - k \right) \\
Y \left( z \right) = - \sum_{k =1}^M a_k z^{-k} \left[ Y^+ \left( z \right) + \sum_{n=1}^k y \left( -n \right) z^n \right] + \sum_{k=0}^N b_k  z^{-k} \left[ X^+ \left( z \right) + \sum_{n=1}^k x \left( -n \right) z^n \right] \end{cases}

Stabilità di sistemi LTI[modifica]

Sistemi LTI causali[modifica]

22 Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso h \left( n \right):

y \left( n \right) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} h \left( k \right) * x \left( n-k \right)

è sommabile in modulo:

\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in \R

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza H \left( z \right) appartengono al cerchio di raggio unitario.

23 Dimostrazione
Ipotesi
  • H \left( z \right) ha poli semplici
  • p_n < p_d
\begin{cases} H \left( z \right) = \sum_{i = 1}^{p_d} \frac{\text{Res} \left( z_i \right)}{1- d_i z^{-1}} \\
h \left( n \right) = \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) \end{cases}
24 Condizione necessaria
\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left|  \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) \right| \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{i = 1}^{p_d} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| {\left| d_i \right|}^n = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \sum_{i = 1}^{p_d} {\left| d_i \right|}^n

Se tutti i poli d_i appartengono al cerchio di raggio unitario, il sistema è stabile:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \sum_{i = 1}^{p_d} {\left| d_i \right|}^n = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \frac{1}{1- \left| d_i \right|} \in \R \Rightarrow \sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in \R
25 Condizione sufficiente
\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in R \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} h \left( n \right) = 0
\lim_{n \to + \infty} h \left( n \right) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) = \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot \lim_{n \to + \infty} d_i^n = 0 \Leftrightarrow d_i < 1 \quad i=1, \ldots, p_d

27 Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causali[modifica]

26 Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza H \left( z \right) non appartengono al cerchio di raggio unitario.

28 Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateri[modifica]

28 Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali[modifica]

31 Un sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso h \left( n \right) è reale, ossia ogni coefficiente b_i e a_i della sua risposta in frequenza H \left( z \right):

H \left( z \right) = \frac{\sum_{k=0}^N b_k z^{-k}}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}}

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]

Sistemi inversi[modifica]

36 Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata H \left( z \right):

H_I \left( z \right) = H^{-1} \left( z \right) = \frac{1}{H \left( z \right)}

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

38 La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

\begin{cases} H_C \left( z \right) = H \left( z \right) H_I \left( z \right) = 1 \\ h_c \left( n \right) = \delta \left( n \right) \end{cases}

37 Se H \left( z \right) ha forma razionale:

H \left( z \right) = \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{i=1}^{p_n} \left( 1- c_i z^{-1} \right)}{\prod_{i=1}^{p_d} \left( 1- d_i z^{-1} \right)}

la risposta in frequenza H_I \left( z \right) del sistema inverso vale:

H_I \left( z \right) = \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{i=1}^{p_d} \left( 1- d_i z^{-1} \right)}{\prod_{i=1}^{p_n} \left( 1- c_i z^{-1} \right)}

Se il sistema inverso è causale, gli zeri c_i del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri c_i del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

38 Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Note[modifica]

  1. Un filtro è un sistema che seleziona una certa banda di frequenze di un segnale.
  2. Si suppone scarico.
  3. Infatti:
    \left( z - \alpha \right) \left( z - \alpha^* \right) = z^2 - \alpha z - \alpha^* z + {\left| \alpha \right|}^2 = z^2 -  \left( \alpha + \alpha^* \right) z + {\left| \alpha \right|}^2 = z^2 - 2 \Re{ \left\{ \alpha \right\} } z + {\left| \alpha \right|}^2
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