Teoria ed elaborazione dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

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2 Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

<math>\begin{cases} y \left( n \right) = h \left( n \right) * x \left( n \right) \\

Y \left( z \right) = H \left( z \right) X \left( z \right) \end{cases}</math>

Interconnessione di sistemi LTI
34 Serie Series block diagram interconnection (discrete-time).png <math>y \left( n \right) = x \left( n \right) * h_1 \left( n \right) * h_2 \left( n \right)</math>
<math>Y \left( z \right) = X \left( z \right) H_1 \left( z \right) H_2 \left( z \right)</math>
34 Parallelo Parallel block diagram interconnection (discrete-time).png <math>y \left( n \right) = x \left( n \right) * \left[ h_1 \left( n \right) + h_2 \left( n \right) \right]</math>
<math>Y \left( z \right) = X \left( z \right) \left[ H_1 \left( z \right) + H_2 \left( z \right) \right]</math>
35 Con reazione Feedback block diagram interconnection (discrete-time).png <math>y \left( n \right) = \left[ x \left( n \right) - y \left( n \right) * h_2 \left( n \right) \right] * h_1 \left( n \right)</math>
<math>Y \left( z \right) = X \left( z \right) \frac{H_1 \left( z \right)}{1 + H_1 \left( z \right) H_2 \left( z \right)}</math>

3 La regione di convergenza della trasformata <math>Y \left( z \right)</math> coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni <math>X \left( z \right)</math> e <math>H \left( z \right)</math> (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitali[modifica | modifica sorgente]

4 Un filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:

<math>\begin{cases} y \left( n \right) = \overbrace{- \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right)}^{\text{ricorsivo}} + \overbrace{\sum_{k=0}^N b_k x \left( n - k \right)}^{\text{non ricorsivo}} \\

Y^+ \left( z \right) = \frac{\sum_{k=0}^N b_k z^{-k}}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}} X^+ \left( z \right) = H_N \left( z \right) H_R \left( z \right) X^+ \left( z \right) \end{cases}</math>

Filtri FIR non ricorsivi[modifica | modifica sorgente]

6 Un sistema LTI causale con risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> a supporto finito può essere descritto:

<math>\begin{cases} y \left( n \right) = \sum_{k=0}^N b_k x \left( n - k \right) \\

H_N \left( z \right) = \sum_{z =0}^N b_k z^{-k} \end{cases}</math>

2 Vantaggi dei filtri FIR
  • Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:
    <math>H \left( z \right) = \sum_{n=0}^{M-1} a_n z^{-n}</math>

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

  • Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsivi[modifica | modifica sorgente]

7 Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

<math>\begin{cases} y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) \\

H_R \left( z \right) = \frac{1}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}} \end{cases}</math>

3 Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichi[modifica | modifica sorgente]

12 Se le condizioni iniziali <math>y \left( - 1 \right), y \left( - 1 \right), \ldots , y \left( -M \right)</math> non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di <math>y \left( n \right)</math> e <math>x \left( n \right)</math> presi in valori negativi (da <math>-k</math> a <math>-1</math>, con <math>k>0</math>):

<math>\begin{cases} y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k=0}^N b_k x \left( n - k \right) \\

Y \left( z \right) = - \sum_{k =1}^M a_k z^{-k} \left[ Y^+ \left( z \right) + \sum_{n=1}^k y \left( -n \right) z^n \right] + \sum_{k=0}^N b_k z^{-k} \left[ X^+ \left( z \right) + \sum_{n=1}^k x \left( -n \right) z^n \right] \end{cases}</math>

Stabilità di sistemi LTI[modifica | modifica sorgente]

Sistemi LTI causali[modifica | modifica sorgente]

22 Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math>:

<math>y \left( n \right) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} h \left( k \right) * x \left( n-k \right)</math>

è sommabile in modulo:

<math>\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in \R</math>

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza <math>H \left( z \right)</math> appartengono al cerchio di raggio unitario.

23 Dimostrazione

\\

h \left( n \right) = \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) \end{cases}</math>

24 Condizione necessaria
<math>\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) \right| \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{i = 1}^{p_d} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| {\left| d_i \right|}^n = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \sum_{i = 1}^{p_d} {\left| d_i \right|}^n</math>

Se tutti i poli <math>d_i</math> appartengono al cerchio di raggio unitario, il sistema è stabile:

<math>\sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \sum_{i = 1}^{p_d} {\left| d_i \right|}^n = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left| \text{Res} \left( z_i \right) \right| \frac{1}{1- \left| d_i \right|} \in \R \Rightarrow \sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in \R</math>
25 Condizione sufficiente
<math>\sum_{n=0}^{+ \infty} \left| h \left( n \right) \right| \in R \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} h \left( n \right) = 0</math>
<math>\lim_{n \to + \infty} h \left( n \right) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot d_i^n u \left( n \right) = \sum_{i = 1}^{p_d} \text{Res} \left( z_i \right) \cdot \lim_{n \to + \infty} d_i^n = 0 \Leftrightarrow d_i < 1 \quad i=1, \ldots, p_d</math>

}}

27 Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causali[modifica | modifica sorgente]

26 Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza <math>H \left( z \right)</math> non appartengono al cerchio di raggio unitario.

28 Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateri[modifica | modifica sorgente]

28 Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali[modifica | modifica sorgente]

31 Un sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso <math>h \left( n \right)</math> è reale, ossia ogni coefficiente <math>b_i</math> e <math>a_i</math> della sua risposta in frequenza <math>H \left( z \right)</math>:

<math>H \left( z \right) = \frac{\sum_{k=0}^N b_k z^{-k}}{1+ \sum_{k=1}^M a_k z^{-k}}</math>

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]

Sistemi inversi[modifica | modifica sorgente]

36 Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata <math>H \left( z \right)</math>:

<math>H_I \left( z \right) = H^{-1} \left( z \right) = \frac{1}{H \left( z \right)}</math>

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

38 La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

<math>\begin{cases} H_C \left( z \right) = H \left( z \right) H_I \left( z \right) = 1 \\ h_c \left( n \right) = \delta \left( n \right) \end{cases}</math>

37 Se <math>H \left( z \right)</math> ha forma razionale:

<math>H \left( z \right) = \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{i=1}^{p_n} \left( 1- c_i z^{-1} \right)}{\prod_{i=1}^{p_d} \left( 1- d_i z^{-1} \right)}</math>

la risposta in frequenza <math>H_I \left( z \right)</math> del sistema inverso vale:

<math>H_I \left( z \right) = \frac{b_0}{a_0} \frac{\prod_{i=1}^{p_d} \left( 1- d_i z^{-1} \right)}{\prod_{i=1}^{p_n} \left( 1- c_i z^{-1} \right)}</math>

Se il sistema inverso è causale, gli zeri <math>c_i</math> del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri <math>c_i</math> del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

38 Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Un filtro è un sistema che seleziona una certa banda di frequenze di un segnale.
  2. Si suppone scarico.
  3. Infatti:
    <math>\left( z - \alpha \right) \left( z - \alpha^* \right) = z^2 - \alpha z - \alpha^* z + {\left| \alpha \right|}^2 = z^2 - \left( \alpha + \alpha^* \right) z + {\left| \alpha \right|}^2 = z^2 - 2 \Re{ \left\{ \alpha \right\} } z + {\left| \alpha \right|}^2</math>
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